江苏省连云港市田家炳中学2020-2021学年九年级下学期数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个
选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2021的倒数是（）A．2021B．﹣2021
C．D．﹣2．函数y＝2+中自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥C．x≤D．x≠3．下列计算正确的是（）A．2x+3
y＝5xyB．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2?a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣44．在一个不透明的袋子中有3个白球、
4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（
）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击
成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为s甲2、s乙2，若＝，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动
中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖6．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）
A．0B．1C．﹣3D．﹣17．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．5
0°D．100°8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；
③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1
|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8小题，每小
题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是
．10．分解因式：a2b﹣4b3＝．11．2020年我国武汉暴发新冠肺炎疫情，全国人民发扬“一方有难，八方支援”的精神，积极
参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为42000人，将42000这个数用科学记数法表示为
．12．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝cm2．13．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点
，AB＝1，则线段CD＝．14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．15．在
△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，则∠C＝．16．如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝B
O＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是．三、解答题（本大题共11
小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）2sin30°+3
cos60°﹣4tan45°；（2）+tan260°．18．（8分）解方程：（1）4x2﹣25＝0；（2）x2﹣2x﹣4＝0．19
．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）如果AC
＝8，BC＝6，DE＝3，求AD的长．20．（8分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示
的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转出蓝色，或者转盘A转出蓝色，转盘B转出红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种
情况下小明获得音乐会门票；若两个转盘转出同种颜色则小芳获得音乐会门票．（1）利用列表或树状图的方法表示所有等可能出现的结果；（2）
此规则公平吗？试说明理由．21．（8分）为宣传普及新冠肺炎防控知识，引导学生做好防控，某校举行了主题为“防控新冠，从我做起“的线上
知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取
了20名参赛学生的成绩，已知抽取得到的八年级的数据如下（单位：分）：80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，7
5，65，70，65，85，70，95，80，75，80．为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到下表：成绩等级分数（
单位：分）学生数D等60＜x≤705C等70＜x≤80aB等80＜x≤90bA等90＜x≤1002八、九年级成绩的平均数、中位数、
优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）年级平均数中位数优秀率八年级78分c分m%九年级76分82.5分50%（1）根据题
目信息填空：a＝，c＝，m＝；（2）八年级王宇和九年级程义的分数都为80分，请判断王宇、程义在各自年级的排名哪位
更靠前？请简述你的理由．22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△A''B''C''以点O为位似中心，
且它们的顶点都为网格线的交点．（1）在图中画出点O（要保留画图痕迹），并直接写出：△ABC与△A''B''C''的位似比是．（2）
请在此网格中，以点C为位似中心，再画一个△A1B1C，使它与△ABC的位似比等于2：1．23．（10分）如图，在△ABC中，BC＝
4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．24．（10分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使
喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，
解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式：（2）求水管AB的长，25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连
接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的
长．26．（12分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的
一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？（填
“是”或“否”），并说明理由；（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“弦系一元
二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx
+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延
长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m
的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．江苏省连云港市田家炳中学2020-2021
学年九年级下学期数学模拟试卷【参考答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正
确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2021的倒数是（）A．2021B．﹣2021C．D．﹣【分析】根
据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．【解答】解：﹣2021的倒数是．故选：D．【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关
键．2．函数y＝2+中自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥C．x≤D．x≠【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列不等
式求解即可．【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，解得，x≥．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1
）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被
开方数非负．3．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xyB．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2?a3＝a6D．（a﹣
2）2＝a2﹣4【分析】分别根据合并同类项法则，多项式乘多项式的运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】
解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；C．a2?
a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底
数幂的乘法，多项式乘多项式以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．4．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，
这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个
红球，共7个，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．故选：D．【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件
的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．5．下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽
样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分
别为s甲2、s乙2，若＝，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中
奖【分析】根据普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义逐项判断即可．【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容
易操作，因此宜采取普查，因此选项A不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B不符合题意；根据平均数和
方差的意义可得选项C符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的可能性为，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D不符合题意；
故选：C．【点评】本题考查普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义，理解各个概念的内涵是正确判断的前提．6．已知2+是关于x的
一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）A．0B．1C．﹣3D．﹣1【分析】把x＝2+代入方程就得到一个
关于m的方程，就可以求出m的值．【解答】解：根据题意，得（2+）2﹣4×（2+）+m＝0，解得m＝1；解法二：对方程变形得：x（x
﹣4）+m＝0，再代入x＝2+，得到：（+2）（﹣2）+m＝0，即m﹣1＝0，m＝1故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的
解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所
以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°
B．25°C．50°D．100°【分析】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂径定理，即可证得＝，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．【解答】解：如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝
50°，∴∠ADC＝∠AOC＝25°，故选：B．【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数
，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b＝
2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，得②正确；由x＝﹣1时，y有最大值，得a
﹣b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），另一个交点为（
1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，进而得出④正确，即可得出结论．【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，，∴b＝2a＜0，∴ab
c＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；∵x＝﹣1时
，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；∵二次函数
y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），∴二
次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c
与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故
选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时
，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右
．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答
过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是直线x＝1．【分析】将抛物线解析式化为顶
点式，然后即可得到该抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴该抛物线的对称轴是直线x＝
1，故答案为：直线x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．分解因式：a2b
﹣4b3＝b（a+2b）（a﹣2b）．【分析】先提取公因式b，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）
（a﹣b）．【解答】解：a2b﹣4b3＝b（a2﹣4b2）＝b（a+2b）（a﹣2b）．故答案为b（a+2b）（a﹣2b）．【点评
】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．11．2020年我国武汉暴发新冠肺
炎疫情，全国人民发扬“一方有难，八方支援”的精神，积极参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为4
2000人，将42000这个数用科学记数法表示为4.2×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：42000＝4.2×104．故答案为：4.2×104．【点评】此题考查科学
记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．1
2．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝2πcm2．【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再
利用圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl计算即可．【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h＝cm，∴圆锥的母线l＝＝2（
cm），∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．故答案为：2π．【点评】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形
的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：S侧＝?2πr?l＝πrl是解题的关键．13．如图，C，D是
线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段CD＝﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段＝原线段的倍，可得BC的长，同
理求得AD的长，则CD即可求得．【解答】解：∵线段AB＝1，点C是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC＝1×，则CD＝AB﹣AD﹣
BC＝1﹣2×＝﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的倍，较长的线段＝原线
段的倍．14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤5且m≠4．【分析】根据一元二次
方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴Δ＝≥0且
≠0，解得：m≤5且m≠4，故答案为：m≤5且m≠4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根
与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，则∠C＝75°．【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非
负性可知cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数
即可．【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，∴cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，∴cosA＝，sinB＝，∴∠A＝60
°，∠B＝45°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故答案为：75°．【点评】此题主要考查了非负数的
性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．16．如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝
CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是6．【分析】连接AC，OD，DE
，设E（x，y），利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，AC是⊙D的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出CE2+BE2
＝2（x2+y2）+2，OE2＝x2+y2，可得当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，然后进行计算即可解答．【解
答】解：连接AC，OD，DE，设E（x，y），∵∠AOC＝90°，∴AC是⊙D的直径，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），C（
1，0），B（﹣1，0），∴AC＝，CE2＝（x﹣1）2+y2，BE2＝（x+1）2+y2，∴CE2+BE2＝（x﹣1）2+y2+
（x+1）2+y2＝2（x2+y2）+2，∵OE2＝x2+y2，∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，∴OE2
＝AC2＝（）2＝2，∴CE2+BE2的最大值＝2×2+2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆
周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共11小
题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）2sin30°+3c
os60°﹣4tan45°；（2）+tan260°．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案；（2）直接
利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2×+3×﹣4×1＝1+﹣4＝﹣；（2）原式＝+（）2＝
+3．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）解方程：（1）4x2﹣25＝0；（2）x
2﹣2x﹣4＝0．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程变形得：x2＝，开方得：x＝±，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）方程移项得：x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x
+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及直接
开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E
．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）如果AC＝8，BC＝6，DE＝3，求AD的长．【分析】（1）由余角的性质可得∠DEA＝∠C
＝90°，可得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，由相似三角形的性质可得，即可求解．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝
∠C＝90°，由∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE；（2）∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵△ABC∽△ADE，∴，∴，∴
AD＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．20．（8分）如图是两个可以自由转动的转
盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转出蓝色，或者转盘A转出蓝
色，转盘B转出红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小明获得音乐会门票；若两个转盘转出同种颜色则小芳获得音乐会门票．（1）利
用列表或树状图的方法表示所有等可能出现的结果；（2）此规则公平吗？试说明理由．【分析】（1）根据题意列表，即可得出所有可能出现的情
况；（2）共有6种等可能的结果，其中配成紫色的结果有2种，两个转盘转出同种颜色的结果有2种，再求出小明获得音乐会门票的概率和小芳获
得音乐会门票的概率，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意列表如下：第二个转盘第一个转盘黄蓝红红（红，黄）（红，蓝）（红，红）蓝
（蓝，黄）（蓝，蓝）（蓝，红）共有6种等可能的结果；（2）此规则公平，理由如下：由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中配成紫色的
结果有2种，两个转盘转出同种颜色的结果有2种，∴小明获得音乐会门票的概率为＝，小芳获得音乐会门票的概率为＝，∴小明获得音乐会门票的
概率＝小芳获得音乐会门票的概率，∴此规则公平．【点评】此题考查的是游戏公平性以及树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）为宣传普及新冠肺炎防控知识，引导学生做
好防控，某校举行了主题为“防控新冠，从我做起“的线上知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分．为了解八、九年
级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩，已知抽取得到的八年级的数据如下（单位：分）：80，95
，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．为了便于分析数据，统
计员对八年级数据进行了整理，得到下表：成绩等级分数（单位：分）学生数D等60＜x≤705C等70＜x≤80aB等80＜x≤90bA
等90＜x≤1002八、九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）年级平均数中位数优秀率八年级7
8分c分m%九年级76分82.5分50%（1）根据题目信息填空：a＝10，c＝77.5，m＝25；（2）八年级王宇和九
年级程义的分数都为80分，请判断王宇、程义在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由．【分析】（1）利用唱票的方法得到a、b的值，
再利用中位数的定义求c，然后用5除以20得到m的值；（2）利用中位数的意义进行判断．【解答】解：（1）由题意，得a＝10，b＝3，
c＝77.5，m%＝＝25%，即m＝25；故答案为：10，77.5，25；（2）王宇在八年级的排名更靠前．理由如下：八年级的中位数
为77.5分，而王宇的分数为80分，所以王宇的排名更靠前；而九年级的中位数为82.5分，程义的分数都为80分，所以他在九年级为中下
游．【点评】本题考查中位数、频数分布表，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的前提．22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正
方形组成的网格中，△ABC与△A''B''C''以点O为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点．（1）在图中画出点O（要保留画图痕迹），
并直接写出：△ABC与△A''B''C''的位似比是1：2．（2）请在此网格中，以点C为位似中心，再画一个△A1B1C，使它与△AB
C的位似比等于2：1．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；（2）直接利用位似比得出对应点位置进而得出答案．【解
答】解：（1）如图所示：点O即为所求，△ABC与△A''B''C''的位似比是：1；2；故答案为：1：2；（2）如图所示：△A1B1C即
为所求．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．23．（10分）如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，
∠A＝30°，求AB．【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△CDB中，利用锐角三角函数求出CD，BD，再在Rt△ACD中
，求出AD，然后进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△CDB中，∠B＝45°，BC＝4，∴CD＝BC
sin45°＝4×＝4，BD＝BCcos45°＝4×＝4，在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴tan30°＝＝，∴AD＝＝4，∴AB
＝AD+BD＝4+4，∴AB的值为4+4．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键
．24．（10分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距
离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的
函数解析式：（2）求水管AB的长，【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的
解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（3，0）代入求得a值；（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．【解答】解：（1）以池
中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物
线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，代入（3，0）求得：a＝﹣．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤
3）；（2）令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的长为2.25m．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解
析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线C
D交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．【分析】（1）连接OD，
利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC为直角，即可得证；（2）根据全等三角形的性质和
平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠
CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵DE＝BC，∴ED＝CD．
∵AD∥OC，∴＝，∵⊙O的半径为2，∴＝，∴AE＝3．【点评】此题考查了切线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，以及全等三角形
的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．26．（12分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt
△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断方
程＝0是否为“弦系一元二次方程”？是（填“是”或“否”），并说明理由；（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b
＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可．（2）证明Δ≥0．（3）想办法求出ab的值可得结论．【解答】（1）解：∵a＝
，b＝，c＝，∴a2+b2＝c2，∴a，b，c能构成直角三角形，∴方程＝0是否为是弦系一元二次方程”．故答案为：是．（2）证明：根
据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，∵a2+b2＝c2，∴Δ＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2
≥0，∴弦系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣x+b＝0，即a+b＝c，∵2a+2b+c＝6，∴3c＝6，∴c＝2，∴a2+b2＝4，a+b＝2，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴ab＝2，∴S△ABC＝ab＝1．【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，“弦系一元二次方程”的定义，根的判别式等知识，解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面积，再令S＝2，即可解出m的值；（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据三角形的面积，可得QH＝，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线A（﹣1，0），B（4，0），可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，令x＝0，则y＝2，∴点C的坐标为（0，2）；（2）连接OQ，∵点Q的横坐标为m，∴Q（m，），∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC＝﹣＝﹣m2+4m，令S＝2，解得：m＝或，（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC，∵AC＝，BC＝，AB＝5，满足AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，又∠QHC＝90°，∠APC＝∠QPH，∴△APC∽△QPH，∴，∵S△BCQ＝BC?QH＝QH，∴QH＝，∴＝，∴当m＝2时，存在最大值．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． |
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