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这是中考数学压轴题一道翻折的经典部题，更是运用分类讨论法解决问题的经典题型中的经典。学会解这种题，对中考数学意义非常重大。题目是这样的： 如图1,□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为(1,-4)，点D的坐标为(-3,4),点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点. (1)假设点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标； (2)假设点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标. (3)假设点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标(直接写出答案).  解：易求得B(7,-4), C(3,4),【下面极有可能要运用到这两个点的坐标，因此先把它们求出来。】 (1)当PD=CD时，点P与点C重合，【如果点P不与C点重合，则因为角C是钝角，根据“大角对大边”，就必有PD>CD】 (2)设Q(x,x-1)，则P(x,1-x)或P(-x,x-1), 【前者关于x轴对称，后者关于y轴对称】 直线AD的解析式为：y=(4-(-4))(x-1)/(-3-1)-4=-2x-2,【运用了直线的点斜式y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)取的是A点的坐标。斜率k=(yc-yA)/(xc-xA)】 当点P在AB上时, 1-x=±4, 解得x=5或x=-3,【注意1-x=4时，x=5对应的是(x,1-x), 1-x=-4时，x=-3，对应的是(-x,x-1)】 当点P在AD上时, 1-x=-2x-2或x-1=2x-2, 解得x=-3或x=1,【同上，要注意对应问题。这里运用分类讨论法，又包含有交叉分类的情况】 ∴P(5,-4)或(3,-4)或(-3,4)或(-1,0). (3)P(6根号5/5, 4)或(-6根号5/5, 4)或(-5/2,3)或P(2,-4).【答案可以直接写出来，分析过程却非常复杂，仍运用分类讨论的方法。分析部分不必写在解题过程中】 分析：(3)由(2)知G(0,-2), 设P(p,y)，则M(p,-2), 当P点在CD上时, P(p,4), (-3≤p≤3) 若M点的对应点在y轴上，则△PMG是等腰直角三角形, 【因为此时对称图形是一个正方形，这是分类中的分类，即分层分类讨论的应用】 MG=PM，即p=(4-(-2))=6>3(舍去).【这种情形不存在】 若M点的对应点M’在x轴上，则设M’(m,0),  MG=M’G, 即|p|=根号(m^2+4),PM=PM’, 6=根号((p-m)^2+16)，【就是对称构成全等三角形，三边相等。全等三角形，有公共边和两个公共顶点，这样就形成关于公共边轴对称的关系】 解得：p=±6根号4/5. 【这个方程组很不好解】 P(6根号4/5, 4)或(-6根号4/5, 4). 当P点在AD上时, P(p,-2p-2), (-3≤p≤1)  易知点M的对应点不在y轴上, 同上有【仍利用全等且对称的特殊关系来分析】 |p|=根号(m^2+4),PM=PM’, |-2p-2-(-2)|=根号((p-m)^2+16)， 解得：p=-5/2,【这个方程组也特别难解】 -2p-2=3, 有P(-5/2,3), 当P点在AB上时, P(p,-4), (1≤p≤7)  △PMG是等腰直角三角形, MG=MP，即p=(-2-(-4))=2.P(2,-4). 题目虽然挺麻烦，但老黄特别喜欢这样的题目。学生的逻辑思维，就是在解这类题目的过程中，慢慢建立起来的。 |
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