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这是一道综合了待定系数法，二次函数的单调性，韦达定理，中点坐标公式，以及函数图像的平移等知识的中考数学压轴题。知识点特别丰富，对中考备考非常有帮助。 如图，抛物线l: y=(x-h)^2/2-2与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，将抛物线l在x轴下方局部沿轴翻折，x轴上方的图像保持不变，就组成了函数f的图像。 (1)假设点A的坐标为(1,0)。 ①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数f的值y随x的增大而增大； ②如图2，假设过A点的直线交函数f的图像于另外两点P, Q, 且S△ABQ=2S△ABP, 求点P的坐标. (2)当2<x<3时, 若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围.  分析：(1)①直接将A点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求得h的值。这是待定系数法求解析式最简单的应用了。可以解得h=3或h=-1，但A点是二次函数左侧的零点，且横坐标大于0，所以h=-1是不合理的，要舍去。 然后我们可以根据函数的图像，以及顶点的坐标(3,2), B(5,0)，直接写出f的增区间，即y随x增大而增大的区间。 ②是这道题真正的难点。我们可以设直线AP的解析式y=kx+b，代入A点坐标，得到b和k的关系。这是这道题第二次用到待定系数法求解析式了。 然后设P点和Q点的坐标，并且列抛物线与直线AP相交时的方程，方程的两个解，就是A点和Q点的横坐标。由于A点已知，所以我们可以利用韦达定理，求出Q点的横坐标，用含有k的式子表示，从而也可以表示出Q点的纵坐标。 而题干中两个三角形面积相等的条件，告诉了我们，点P是AQ的中点，因此可以利用中点坐标的公式，表示出P点的坐标。由于P点的水平位置在AB之间，所以k有一个取值范围。 最后把P点代入f在AB段的解析式, 就可以解得k的值，舍去不合理的k值，就可以得到P点的坐标了。 (3)注意h的大小只是决定了函数图像在水平方向上平移的位置，不改变图像的形状。因此第一小题第1个问题的答案，对我们是有帮助的。因为它指明了f的增区间。 为了分析的方便，我们写出顶点，A和B的坐标，用含有h的式子表示。左边的增区间，对应的A点横坐标必须不大于2，顶点的横坐标必须不小于3. 而右边的增区间，对应B点的横坐标必须不大于2。这样就可以求得h的取值范围了。 最后组织解题过程： 解：(1)①将A(1,0)代入l的解析式得： (1-h)^2/2-2=0,解得：h=3,或h=-1(舍去), ∴l的表达式为：y=(x-3)^2/2-2. 由抛物线的对称性有B(5,0). 当1<x<3或x>5时, f的值y随x的增大而增大. ②设直线AP的解析式为y=kx+b, 代入A(1,0)可得：b=-k, 可设P(p,kp-k), Q(q,kq-k), 当(x-3)^2/2-2=kx+b时, x^2/2-(k+3)x+5/2+k=0, 1+q=2(k+3), 解得q=2k+5, kq-k=2k^2+4k, ∵S△ABQ=2S△ABP, ∴P是AQ的中点， ∴p=(1+q)/2=k+3, kp-k=k^2+2k, (-2<k<2) 又-(k^2+2k)=(k+3-3)^2/2-2, 解得：k=2/3或k=-2(舍去) ∴p(11/3,16/9). (2)顶点(h,2), A(h-2,0), B(h+2,0). h≥3且h-2≤2, 或h+2≤2, 所以3≤h≤4,或h≤0. 这道题不仔细做还是很容易出错的，对考生来说，可能还是有一点烧脑的。 |
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