问题:已知正方形ABCD,点M为边AB 的中点. (1)如图①.点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. ①求证∶BE=CF; ②求证∶BE²=BC·CE; (2)如图②,在边BC上取一点E,满足BE²=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值. 分析:(1)①要证明BE=CF,可通过证△ABE≅△BCF得到; ②要证明BE²=BC·CE,可先证明CG²=BC·CE,可通过证明△CGE∼△CBG得到; (2)要求tan∠CBF的值,即要得到 (1)①证明:如图, ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°, 又∵∠AGB=90°, ∴∠BAE+∠ABG=90°, 又∵∠ABG+∠CBF=90°, ∴∠BAE= ∠CBF. ∴△ABE≅△BCF(ASA),(文末总结“十字模型”) ∴BE=CF; ②证明∶方法一,如图 ∵∠AGB=90°,点M为AB的中点, ∴MG=MA=MB, ∴∠GAM=∠AGM. 又∵∠CGE=∠AGM, ∴∠CGE=∠CBG, 又∵∠ECG=∠GCB, ∴△CGE∼△CBG. ∴ 即 CG²=BC·CE, ∵∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF, ∴CF=CG. 由①知,BE=CF, ∴BE=CG, ∴BE²=BC·CE; ②证明∶方法二,如上图 ∵∠AGB=90°,点M是AB的中点, ∴MG=BM, ∴∠MGB=∠MBG=∠CFG=∠CGF, ∴CF =CG, 又由①知,CF=BE, ∴CG=BE. ∵∠CGF+∠CGE=90°, ∠MBG+∠GBE=90°, ∴∠CGE=∠EBG, ∴△CEG∼△CGB, ∴ ∴CG²=BC·CE, 即BE²=BC·CE; (2)解∶方法一,如图,延长AE,DC交于点N, ∵正方形ABCD是正方形, ∴AB//CD. ∴∠N=∠EAB. 又∵∠CEN= ∠BEA, ∴△CEN∼△BEA. ∴ ∴即BE·CN=AB·CE. ∵AB=BC,BE²=BC·CE, ∴CN=BE. ∵AB∥DN, ∴ 又∵AM=MB, ∴FC=CN=BE, 不妨假设正方形边长为1. 设BE=x,则由 BE²=BC·CE,得x²=1·(1-x). 解得 ∴ (2)解∶方法二,如图,不妨假设正方形边长为1,设BE=x, 则由BE²=BC·CE,得x²=1·(1-x). 解得 即 如解图②,作GN∥BC交AB于点N, 则△MNG~△MBC, ∴ 设MN=y,则GN=2y,GM= ∵ 即 解得 ∴GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上. ∴△AGB是直角三角形,且∠AGB=90°. 由(1)知BE=CF, ∴ 模型总结:正方形中的十字模型 条件:正方形ABCD,∠AGB=90° 结论:△ABE≅△BCF. 条件:正方形ABCD,∠AGH=90° 结论:AE=FH. 条件:正方形ABCD,∠MGH=90° 结论:MN=FH. |
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