课题：基本不等式（第一课时）授课教师：台州市第一中学蒋茵内容及内容解析本节内容选自人教版必修五第三章《不等式》第四节《基本不等式》的第一课
时，它是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作
用.基本不等式揭示了两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系，之所以称为“基本”是因为简单、基础，它是研究调和平均数和平方平均数
的基础，是证明其它重要不等式的依据，是求最值的有力工具.本节课的主要内容是基本不等式的发现与证明及简单应用，而运用基本不等式求最值
留到下一课时，本节课的教学重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式.“基本不等式”在不等式的证明和求最
值过程中有着广泛的应用，在基本不等式发现与证明及简单应用的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形
结合、化归与转化、运动变换，观察联想等思想意识；更有助于学生“大胆猜想，小心求证或完善”、“数学地、有条理地思考问题”等良好的思维
品质和抽象、逻辑推理等数学核心素养的养成.学生学情分析学生在此之前已经具备了不等式、三角形和四边形知识，掌握了不等式的基本性质和用
比较法证明不等式.同时，高一学生具备了一定的数学抽象，图形分析及数形结合能力，在交流上具备一定层次沟通能力.这些都为学习本节内
容奠定了基础.但高一的学生解决问题能力有限，在解决问题过程中尚未掌握研究一般问题的整体思路，尚未养成在出现多种解法时挖掘其背后本质
的习惯，如：比较与大小时，学生会直接作差比较，也没有先猜想后证明的意识，在这里注意问题引导，让学生明确并掌握解决问题的一般策略与思
路，并强化了猜想与反驳一般的思维过程；同时本节课学生一方面要自主挖掘不等式的各种几何背景，另一方面要从多元联系的观点多角度理解基本
不等式的内涵，学生构造图形，数形结合，逻辑推理能力不够高，思维也不够严谨，如：多角度学生容易联想面积角度，其它角度及证明较困难，教
学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，并采用小组合作方式研究。目标及目标解析1.学生能在具体的情境中发现问题，提出问题，经历数学抽
象，观察发现、归纳猜想等过程，有助于学生观察素养及数学抽象核心素养的养成.2.学生在多角度探索基本不等式及演绎替换的过程中，构建解
决问题的基本思路方法，建立多元联系，学会一题多解，多解归一，感受基本不等式内涵，并感受数形结合、化归与转化，运动变换，观察联想等数
学思想方法，有助于学生逻辑推理等核心素养的养成.3.掌握基本不等式的结构特征，并能简单应用基本不等式，体会数学的应用价值，感受数学
的完整性.四、教学策略分析本节课的难点是：①从不同的角度探索基本不等式的内涵②挖掘基本不等式的几何意义．突破难点的策略是：问题引
导；小组合作等本节课采用高中数学研究型教学模式，即学生在教师创设的12个问题中，以“基本不等式的发现与证明及简单应用”为基本研究内
容，在教师提供的认知策略与研究支架指导下，通过独立研究或合作研究自主提出问题、自主解决问题、自主拓展问题，充分发挥学生的主观能动性
，不是仅以掌握学习知识和建构知识为重点，而是构建研究数学问题的一般思路与方法，有助于学生数学思想的渗透、研究力的提升及抽象、逻辑推
理等数学核心素养的养成.五、教学过程设计(一)呈现背景，提出问题问题1：甲工厂第一年产值为，第二年产值为第一年的2倍，第三年产值
为第二年的3倍；乙工厂第一年产值为，每年产值平均增长倍，将工厂第三年的产值作为评价工厂近两年效益的标准，如何评定？[设计意图]创设
实际问题情境，体验数学源于生活.通过特殊到一般发现提出一般性问题：比较(算术平均数)与(几何平均数)的大小？培养学生学习从实际问题
中，发现问题，提出问题的能力，同时明确本节课研究的数学对象，提出课题：基本不等式.设问1：将2，3，2.5改为1，4，2.5呢？设
问2：你能将上述问题进行进一步的抽象吗？结论：进一步抽象为，，，从而比较与的大小联想激活，寻求方法问题2：按照以往的经验,你会有不
同的思路与方法比较与的大小吗?[设计意图]数学是理性的，解决数学问题应提倡“三思而后行”而不是“摸着石头过河”；此环节教师引导
学生回顾比较大小的经验，让学生寻求解决一类问题的基本思路与方法。这是“以知识为载体，让学生掌握研究问题的一般思路与方法，进而学会研
究、学会创造”理念的具体化和操作化预设结论：（1）作差（作商）比较；（2）先平方再作差；（3）由特殊到一般（4）先猜想后证明（三）
猜想证明，得出结论问题3:你的猜想结论是什么？[设计意图]引导学生用分类思想完善猜想问题4:请用不同的方法证明？请动手操作?[设计
意图]引导学生完整地经历不等式从直观感知、操作确认到逻辑论证的探索过程，意在培养学生严谨的逻辑思维能力，发展学生由猜想到证明，由感
性到理性的思维品质.而且引导学生不仅要学会一题多解，还要学会多解归一.（学生板演）证法1：直接作差证法2：平方作差
证法3:分析法设问3：我们用一题多解解决问题,那么不同解法是否有共同之处呢?结论：三种解法最后都是证.问题5：你能说出基本不等
式的结构特征吗？[设计意图]引导学生从宏观的角度观察、分析、清楚地认识不等式的结构特点，掌握不等式的结构特征.并鼓励学生多角度看待
问题，比较自然的对基本不等式变形，初步体会基本不等式中“基本”的含义,并为后续的应用打下基础。结论：（1）两个正数的算术平均数不小
于几何平均数；（2）齐次式；（3）轮换对称式（4）用代数式替代，推出其它不等式设问4：你能理解基本不等式“基本”的含义吗？结论：“
基本”即基础，由它可以衍生出其它很多不等式问题6：根据已学知识，结合基本不等式的结构，你又能联想什么？预设结论：（1）面积角度；（
2）线段角度；（3）数列角度问题7：你能从其它的角度对作进一步解释与证明？(独立思考,小组讨论)[设计意图]引导学生意识到数背后蕴
含形，形背后蕴含数，并建立多元联系，多角度看待基本不等式，打通基本不等式与其它知识之间的联系，加深学生对基本不等式内涵的认识和理解
，培养学生数形结合、观察联想等数学思想方法，多方面思考问题的能力．学以致用，深化拓展问题8：证明下列不等式：已知，求证：已知，求证
：已知，求证：[设计意图]低起点起步，重在让学生掌握基本不等式，能简单应用，并灵活运用基本不等式。问题拓展：问题9：基本不等式的结
论能否进一步推广？（2个数推广到3个数，进一步推广到个数）问题10：甲工厂购进某种材料分两批，每批采购金额相等，第一批价格为，第二
批价格为，求这两批材料的平均价格？乙工厂购进某种材料分两批，每批采购量相等，第一批价格为，第二批价格为，求这两批材料的平均价格？你
会选择哪个工厂的采购方案？问题11：你还能用其它的方法继续解释和证明基本不等式吗？[设计意图]引导学生将问题拓展，问题9，问题10
是结论的推广与拓展，问题11是证明思路方法的拓展，帮助学生在更大范围内把所学的知识系统化，结构化。(五)回顾反思提炼升华问题12：本节课学习了什么?是怎么学习的?有什么感悟与体会?[设计意图]培养学生反思的意识和习惯，让学生在掌握知识的同时掌握方法，真正做到“授人以渔”和“教是为了不教”． |
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