三点共线与三线共点的证明方法 一、三点共线的常用证明方法 (一)利用平角180° 例1 如图,点D是等腰直角三角形ABC内一点.将△ADC绕点C顺时针旋转90°得到△BEC,点D的对应点为点E. (1)如果AD:CD:BD=1:2:3,求证:A,D,E三点共线; (2)如果A,D,E三点共线,AD,CD,BD满足什么样的关系? ![]() 解析:(1)连接DE,欲证A、D、E三点共线,只需要证明∠ADE=180°,即证∠ADC+∠CDE=180°. 由旋转,可知:CD=CE,∠DCE=90°,AD=BE,∠ADC=BEC, 所以△CDE是等腰直角三角形, 所以∠CDE=∠CED=45°, 因为AD:CD:BD=1:2:3, 所以可设AD=BE=a,CD=2a,BD=3a, 则DE=2√2a, 所以BE2+DE2=a2+8a2=9a2=BD2, 所以∠BED=90°, 所以∠CEB=135°=∠ADC, 所以∠ADE=135°+45°=180°, 所以A、D、E三点共线; (2)逆着(1)的思路可知:如果A,D,E三点共线,AD,CD,BD满足的关系是:AD2+2CD2=BD2. (二)利用平行公理 例2 如图,等边△ABC中,D为AB边上一点(点D不与点A、B重合),连接CD,将CD平移到BE(其中点B和C对应),将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF,求证:D、F、E三点共线. ![]() 解析:连接DE,DF,欲证D、F、E三点共线,只需要证明DE,DF平行于同一条直线即可. 由平移可得:BE平行且等于CD, 所以四边形BCDE是平行四边形, 所以DE//BC; 由旋转,得:BF=BD,∠DBF=∠DBC=60°, 所以△BDF是等边三角形, 所以∠BDF=60°=∠DBC, 所以DF//BC, 由平行公理可知DE、DF是同一条直线, 所以D、F、E三点共线. 二、三线共点的常用证明方法 (一)转化为三点共线的证明 例3 如图,菱形ABCD中,∠B=60°,P是BC延长线上一点,连接AP.点M是线段AP上的点,满足∠AMC=120°,求证:直线AB,CM,PD相交于同一点. ![]() 解析:首先设AB、CM相交于点O,连接OD,则欲证直线AB,CM,PD相交于同一点,只需要证明O、D、P三点共线即可. 因为四边形ABCD是菱形,∠B=60°, 所以△ABC和△ACD都是等边三角形, 所以∠CAD=60°, 即∠CAM+∠MAD=60°, 因为∠AMC=120°, 所以∠CAO+∠ACO=60°, 所以∠MAD=∠ACO, 又因为AD//BP, 所以∠MAD=∠APC, 所以∠ACO=∠APC, 又∠OAC=∠ACP=120°, 所以△ACO∽△CPA, 所以AC:CP=AO:AC, 因为AC=CD=AD, 所以CD:CP=AO:AD, 因为∠OAD=∠DCP=60°, 所以△OAD∽△DCP, 所以∠ODA=∠DPC, 所以∠ODP=∠ODA+∠ADC+∠CDP =∠DPC+∠DCP+∠CDP =180°, 所以O、D、P三点共线, 所以直线AB,CM,PD相交于同一点O. (二)利用同一法则 例4 如图,矩形ABCD中,E是BC上的动点,延长EB到F,使BF=BE,G为AD的中点,求证:直线AE,BG,DF三线共点. ![]() 解析:设AE、DF相交于点O,连接BO并延长交AD于H,则欲证直线AE,BG,DF三线共点,只需要证明BG和BH是同一条直线,即证点H是AD的中点即可. 因为AD//BC, 所以△OAH∽△OBE, 所以AH:BE=OH:OB, 同理,DH:BF=OH:OB, 所以AH:BE=DH:BF, 因为BE=BF,所以AH=DH, 所以H是AD的中点, 因为G是AD的中点, 所以BH和BG是同一条直线, 所以直线AE,BG,DF三线共点. |
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