【原】梯度运算实例

梯度运算实例

在物理学中，有几个经常使用的标量函数，现在以他们为例子演示对标量函数取梯度的运算方法。

最简单的一个标量函数是位置矢量的大小，即离开原点的距离。在直角坐标系中，这个函数可以解析地表示成：。对这个函数分别取对三个坐标变量的偏导数：

对另外两个变量的偏导数有相似的结果。用这三个偏导数做分量，构造一个矢量，就得到距离函数的梯度：

有一个重要的标量函数出现在静电学问题中。我们知道，一个静止的带电粒子在它的周围产生的静电势

而这个静止的带电粒子产生的静电场则可以通过对它的静电势做梯度运算得到：。在物理学中，是一个很重要的标量函数，对它取梯度是在数学运算中经常出现的问题。

在直角坐标系中对这个函数分别取对三个坐标变量的偏导数：

对另外两个变量的偏导数有相似的结果。于是：

把这个梯度运算的结果用到静电势与静电场的关系式中，正好给出静电场的表达式。

在静电学中还有一个重要的标量函数。考虑一对等量异号的正负电荷在远处产生的静电场。由电势叠加得到，在准确到一级近似下，这对电荷在远处产生的电势为

其中的是一个常矢量，反映这对等量异号电荷的内部特性。产生这个电势的源被称为电偶极子。对这个电势取梯度的负值就得到电场强度的表达式。略去电势表达式前面的常数因子，我们对上面这个标量函数取梯度。首先对三个坐标变量取偏导数：

另外两个偏导数有相似的结果。于是：

由此可以得到电偶极子产生的电场强度的表达式。

在物理学中，还有一个重要的标量函数，它描写一个有确定频率的平面波的传播，其中称为波矢，是一个沿着波的传播方向的常矢量。求梯度是对空间变量做导数，对时间因子不起作用，因此，为了后面书写的简便起见，我们把这个函数的时间因子去掉。这个函数对三个坐标变量取偏导数的结果是：

由此得到该函数的梯度：

从梯度的定义式、计算公式和应用实例中可以看到，对一个标量函数取梯度实际上就是对这个函数取各个自变量的偏导数，再将这些偏导数线性叠加起来。导数符号的线性叠加并不会影响求导的规则，因此，梯度运算必定满足与导数运算相同的运算法则。比如说，当用一个常数乘以标量函数时，取梯度的结果是直接对该标量函数取梯度后与这个常数相乘；对两个标量函数之和取梯度，等于这两个函数分别取梯度后再相加；对两个标量函数的乘积取梯度，其分解法则与取导数的分解法则是一样的：

再如指数函数的梯度：

如此等等。利用这些法则，很容易就得到一些比较复杂的标量函数的梯度运算结果。

一个有确定频率的球面波的波函数就是一个比较简单的“复杂”函数。用来描写球面波的标量函数具有这样的形式：，其中k 是一个反映波的内部特性的常数，称为波数。仍然去掉时间因子，利用梯度的运算法则，可以将这个函数的梯度按如下方式展开求得：