【原】洛朗展开实例

由于在函数的奇点处导数不存在，因此，在求洛朗展开时，不能像在求泰勒展开中那样，将求系数的积分公式转换成求函数的导数在展开点的值。原则上说，求洛朗展开系数必须用积分公式计算。不过，由于级数展开的唯一性，一般不直接用公式求系数，而是利用展开的唯一性，引用其他方法得到的结果。

我们来看一个简单的例子，求下述函数在原点处的幂级数展开：

不难看出，z₁=0 和 z₂=1 是这个函数的两个奇点。如果要在原点处把函数展开成幂级数，它必定是洛朗级数，收敛范围是 0<|z|<1。由于在原点处的洛朗展开的收敛半径 r=1，自变量的变化范围满足 |z|<1。因此，为了对这个函数做洛朗展开，先把它改写成如下形式：

显然，第二个乘积因子在原点处是解析的，可以引用它的泰勒展开的已有的结果将其展开成泰勒级数：

引入一个新的求和指标 n=k-1，就得到所研究的函数的洛朗展开：

若要在 |z|>1 的区域做展开，则先把函数形式改写成

再引用已有的结果将第二个乘积因子展开成幂级数：

引入新的求和指标 n=-(k+2)，就得到想要的展开式：

有一些函数可以用待定系数法求洛朗展开。一个常见的例子是余切函数，我们想求这个函数在原点的邻域的幂级数展开。由于 cot z 在原点处奇异，因此，展开式一定是洛朗级数。由于这个函数离开原点最近的奇点是 π，因此，在原点处展开的幂级数的收敛范围 |z|<π。原则上说，洛朗展开有无穷个负幂项。但是，对于余切函数，简单的分析可以断定，它的洛朗展开只有有限个负幂项。为了能够做出这个判断，我们把余切函数用余弦函数和正弦函数表示：

等式最右边的表达式的分子和分母分别是余弦函数和正弦函数的泰勒展开。不难看出，当 z→0 时，cot z 的行为与 1/z 的行为一致。由于这个原因，在 cot z 的幂级数展开式中，最低阶项必定是 1/z。于是，函数在原点附近的行为决定了它的幂级数展开的求和指标的取值范围。另一方面，cot z 是一个奇函数，幂级数展开式只能包含奇次幂项。根据以上分析，cot z 的洛朗展开必定具有这样的形式：

把余切函数与正弦函数和余弦函数的关系改写成

cos z = sin z cot z

把各个函数的幂级数展开式代入这个改写过的关系式中并稍作整理：

引入一个新的求和指标，上面等式的右边就可以改写成单个幂级数的形式：

根据唯一性定理，两个幂级数要相等，它们的各项对应的系数必须相等：

稍作整理后就得到以下递推公式：

利用递推公式，就可以把展开系数一个一个地求出来。

当 n=0 时，递推公式的左边只有 k=0 这一项，它给出 a₋₁=1；当 n=1 时，递推公式的左边有两项，它给出以下等式：

由于在 n=0 时已经求出了 a₋₁，通过上述等式就把 a₁ 求出来了；当 n=2 时，递推公式的左边有三项，它给出以下等式：

由此就可以求出 a₃ 的值。这个过程继续下去，就能够把所有的系数一个一个地求出来，最终得到余切函数的洛朗展开：

双曲余切函数也可以用这种待定系数的方法得到它们的洛朗展开。