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作者：Steven Strogatz 2022-7-13 译者：zzllrr小乐 2022-7-14 是什么使得证明强于猜测？在数学抽象领域中证据是什么样子？让我们听一听数学家 Melanie Matchett Wood 解释概率如何帮助引导数论学家走向确定性。 人们怎么能够肯定地谈论无穷大？在不知道所有的神秘素数的情况下，我们能真正了解它们吗？正如科学家需要数据来评估他们的假设一样，数学家也需要证据来证明或反驳猜想。但在数论的无形领域中，什么才是证据？在这一集中，Steven Strogatz 与哈佛大学数学教授Melanie Matchett Wood（梅兰妮·马切特·伍德）交谈，了解概率和随机性如何帮助建立数学家所要求的无懈可击的证据。 Steven Strogatz (00:02)：我是 Steve Strogatz，这是来自Quanta杂志的播客，带您了解当今数学和科学中一些最大的未解决问题。在这一集中，我们将讨论数学中的证据。数学家使用什么样的证据？是什么让他们在得到滴水不漏的证据之前认为某些事情可能是真的？ (00:26) 这听起来像是一个悖论，但事实证明，基于概率论的推理，对机会和随机性的研究，有时会导致数学家真正追求的是确定性，而不仅仅是概率。例如，在被称为数论的数学分支中，使用随机性来帮助数学家猜测什么是真的由来已久。现在，概率被用来帮助他们证明什么是真实的。 (00:53) 我们将在这里关注质数（也叫素数）。你可能还记得素数，对吧？你在学校了解了他们。素数是一个大于 1 的整数，只能被 1 和它自己整除。例如，7 或 11。这些是质数，但 15 不是，因为 15 可以被 3 或 5 整除。从某种意义上说，你可以将质数视为化学元素周期表中的元素，它们是构成所有其他数字的不可分割的原子。 (01:27) 素数看起来应该很简单，但数学中一些最大的谜团是关于素数的问题。在某些情况下，这些问题已经存在了数百年。素数确实有一些非常微妙的东西。它们似乎生活在秩序与随机之间的边界中。我今天的嘉宾将帮助我们更多地了解数学证据的性质，特别是随机性如何以及为什么可以告诉我们很多关于素数的信息，以及为什么基于概率的模型在数论的前沿如此有用。现在和我一起讨论这一切的是哈佛大学数学教授 Melanie Matchett Wood。欢迎，梅兰妮！
梅兰妮 (02:09)：嗨，很高兴与您交谈。 Strogatz (02:11): 很高兴和你交谈，我是一个忠实的粉丝。让我们来谈谈数学和科学之间的关系，因为这两个词经常一起使用，但是我们在数学中用来获得证明和确定性的技术，与我们在科学中试图做的有些不同。例如，当我们谈到在数学中收集证据时，它与在科学中通过科学方法收集证据有什么相同或有什么不同？ 梅兰妮 (02:38)：数学证明是绝对密不透风、完整的逻辑论证，某些数学主张必须是这样，而不能是其他任何方式。所以不像科学理论——根据我们今天的证据，这可能是我们拥有的最好的理论，但你知道，在接下来的 10 年里，我们会得到更多的证据，也许会有一个新的理论——一个数学证明说某些陈述必须是这样的，我们不可能在 10 年或 20 年后发现它会是错误的。 Strogatz (03:17)：嗯，什么样的东西可以算作数学中的证据？ 梅兰妮 (03:19)：你可能会在很多例子中看到某些事情是正确的。并且基于它在很多例子中是正确的，你可能会说这是事实的证据，你可能会做出一个猜想，数学家会称之为猜想，猜测某事是真的。但是，数学家想要的是一个证明，证明你在很多例子中看到的那个东西总是会按照你声称的方式工作。 Strogatz (03:49)：是的，与证据的分量非常不同。这是一个声明，为什么某事将永远、在所有时间、在任何情况下都是真实的，这是有原因的。 梅兰妮 (03:58)：不仅仅是“哦，好吧，我看过一百万个案例，每个案例都是如此。” 这是猜测或推测它总是正确的理由。但是在数学中，我们将这种可能基于大量案例或证据的猜测，与有一个定理或一个证明（一种告诉你它适用于每种情况的论据，即使是你没有尝试过的情况）区分开来。 Strogatz (04:25)：那仅仅是数学家天生挑剔，还是确实有一些案例，在非常多的可能性中看起来正确，但一旦超过某个大的数字后，最终不是真实的？ 梅兰妮 (04:39)：哦，那是一个很好的问题。好吧，这是我喜欢的一个例子，因为我喜欢素数。所以当你遍历素数——2、3、5、7——你可以做的事情之一时，你可能会说，“嘿，它们能被 2 整除吗？” 事实证明这不是很有趣。在 2 之后，它们都不能被 2 整除，它们都是奇数。 (05:10) 然后你可能会想，“嗯，它们能被 3 整除吗？” 当然，在 3 之后，它们也不能被 3 整除，因为它们是素数。但是，你可能会注意到其中一些，当你将它们除以 3 时，会得到余数1，它们比 3 的倍数多 1。所以像 7 比 6 多 1 ，以及 13 比 12 多1。其中一些素数，例如 11 或 17（比 15 多2），当你将它们除以 3 时，它们的余数将为 2，因为它们比 3的某个倍数 多 2 。 (05:47) 所以你可以分组考虑这些素数。第 1 组是所有比 3 的倍数多 1 的素数，第 2 组是所有比 3 的倍数多 2 的素数。当你遍历素数时，可以统计一下，看看有多少素数在第 1 组，有多少在第 2 组。如果你统计到 6000 亿，在每个点上，每个数字都达到 6000 亿，你会发现第2组 的素数比第1组 的素数多。因此，基于该证据，你可能会自然而然地推测，第 2组 的质数总是比第1组 的素数多。 Strogatz (06:33)：当然。听起来完全像。 梅兰妮 ：结果是，大约 6080 亿，我忘记了确切的数字，它改变了。 Strogatz (06:46)：哇哦。 梅兰妮 ：是的，它真的变了。现在突然之间，第 1 组处于领先地位。所以，这是一个（反例） Strogatz (06:53)：等一下。等等，这太神奇了。它们一直在变化吗？你继续这样做下去我们会知道发生什么吗？它们不断变化吗？ 梅兰妮 (07:01)：是的，很好的问题。事实上，它们的领先地位将无限频繁地改变，这是一个定理。 Strogatz (07:07)：真的吗？ 梅兰妮 ：它们会一直互换领先地位。当你研究质数时，这是一个非常好的例子，你要记住，仅仅因为前 6000 亿个案例中的某些事情是正确的，并不意味着它永远都是正确的。 Strogatz (07:25)：哦，哇。好的。所以，和一般情况一样，你如何从猜想变成证明？ 梅兰妮 (07:31)：这在很大程度上取决于案例。我的意思是，在许多数学案例中，我们有猜想但没有证明。所以从猜想到证明没有什么简单的方法，否则我们不会有这么多著名的未解决问题，你知道，有一些——一些猜想，人们认为某事以某种方式起作用，但我们不能确定。但是，你知道，有时这个猜想可能会暗示某些事情为真的原因。有时它只是数学理论，建立在人们已经发展了数百年的越来越多的数学理论之上，为我们提供了足够的工具和结构来理解我们得出一个证明的事物。但猜想并不必然会得到证明。这个猜想可能会激发人们去寻找证明，但证明的产生方式可能与猜想本身是完全分开的。 Strogatz (08:31)：是的，我有兴趣枚举或列出缺乏证明的证据的类型，这会让人们相信值得尝试去寻找一个证明。 梅兰妮 (08:41): 是的，我们可以称之为证据的，不仅仅是例子（example），还有启发式（heuristic）。启发式可能类似于论证，但严格程度要低得多。就像，这看起来OK吗？不是“我绝对肯定地确定了这一事实吗？” 而是“确实如此——是的，这似乎很合理。” 因此，启发式可能是一种看起来很合理的推理，你知道，但实际上并不是一个严格的证明。所以这是某种证据。 (09:12) 有时我们可能有一个模型，我们认为该模型刻画了我们试图理解的数学系统的基本元素，因此你会推测你的系统与你的模型具有相同的行为。 Strogatz (09:30)：好的。在某些时候，我想听听一些模型和猜想的例子，你知道，它们在某些问题上起作用或不起作用的程度，但是，如果你不介意，我会喜欢回到一些个人的小事上，因为我们在这里谈论数字，而你是一个数论家。人们在日常生活中可能不认识很多数论家。所以，我想知道你能不能告诉我们什么是数论，还有，为什么你觉得它很有趣？你为什么来研究它？ 梅兰妮 (10:02) ：嗯，数论是对整数的数学研究。想想 1, 2, 3, 4, 5。特别是，整数中最重要的东西之一是素数。正如你所解释的，在一开始，它们是我们可以通过乘法建立所有其他数字的基石。因为数论关注所有这些整数，所以它也关注它们的组成部分——素数，以及其他数字如何分解质因数以及它们是如何由素数构建出来。 Strogatz (10:37)：所以，对于我们今天的目的，数论将是对整数的研究，尤其是对素数感兴趣。这似乎是一个不错的开始。我想还不止这些。但也许这对我们来说是一个很好的定义。你认为是吗？ 梅兰妮 (10:50）：这是一个好的开始。我的意思是，从那里开始，人们会探索更多的东西，比如，如果你开始考虑比整数更复杂的数字系统怎么办？就像你开始放进其他数字一样，例如 2 的平方根，那么质数和因式分解会发生什么？你会被引导到更多的问题。但老实说，仅在整数和素数中就有很多丰富而美丽的数学。 Strogatz (11:16)：那么考虑到这一点，你为什么觉得它很有吸引力？你为什么喜欢数论的研究？是什么吸引了你？ 梅兰妮 (11:22)：我想我喜欢是因为这些问题可以如此具体。你知道，我去和小学生聊天。我可以告诉他们，我想的一些事情。所以，对我来说，做一些事情很有趣，一方面，问题可能如此具体，但另一方面，试图解决它可能如此困难。我的意思是，几千年来，人们一直试图回答关于整数、素数的问题。 (11:54) 还有很多数学分支。现代数论的重要组成部分之一是，要在人们长期研究的这些顽固的老问题上取得进展，就需要引入新的思想，并需要与数学的其他部分建立联系。因此，即使我称自己为数论学家，我也会使用来自所有不同领域的数学。从研究几何和拓扑以及空间的形状到概率和研究随机性。我使用了各种各样的数学，但试图谈论诸如整数、素数和因式分解之类的事情。 Strogatz (12:36)：是的，我喜欢将数学视为这个巨大的相互联系的思想网络的愿景，你可以希望生活在你最喜欢的特定部分。但是你已经提到素数是数论中一个特别有趣的领域，最基本的部分，真的。它们有什么困难？目前尚不清楚，在我们的讨论中，那里有什么神秘之处？就像我们已经定义它们一样，我想我们可能会继续列出它们。你所指的那些已有数百年历史的问题是什么？ 梅兰妮 (13:05)：嗯，最大和最重要的问题之一，可能大约有 120 年的历史，你说，“哦，你可以列出它们。如果你这样做，你会找到多少？” 假设你列出了质数，大到一百，或一千，或十万，或一百万，十亿。当你列出越来越大的素数时，你所经历的这些数字中有多少实际上是素数？所以理解数量 确实 是黎曼假设的 核心, 这是 克莱 数学 研究所千禧年奖 问题之一，有一个百万美元的答案奖金。这是最著名的问题之一，我们不知道该怎么做，它实际上只是这样的一个问题：当你列出这些素数时，你会找到多少？ Strogatz(13:58)：好的。这很有趣，对吧？因为当你开始列出列表时，即使有人只是随便开始列出最大为 100 的数字——你也会注意到一些有趣的事情。就像，我们开始时谈的 11 和 13 ，它们相隔2。接着是15，但行不通，因为它可以被 5 和 3 整除。然后是 17，在 13 和 17 之间相差4 。但是然后 19 又接近了。我不知道，我的意思是，素数之间的间距可能有点不稳定。就像有时那里有一个相当大的间距，有时它们彼此相邻，仅相距2。 梅兰妮 (14:31): 是的，所以理解间隔和那些间距也是一个令人感兴趣的大问题。在过去十年中，在理解素数间距方面取得了显著进展。但仍有一个非常诱人的基本问题，我们不知道答案。你提到了这些素数，11 和 13，只是相距 2。这样的素数称为孪生素数。我们不能指望素数之间的距离小于 2，因为在 2 之后，它们都必须是奇数。这里有数学中的一个悬而未决的问题（这意味着我们不知道答案），即：是否存在无限多对孪生素数? 所以这里有一个猜想。我的意思是，不仅有一个猜想“是的，它们应该永远存在，而且应该永远存在更多”，而且甚至还有一个猜想关于你会发现多少个孪生素数。但那是完全开放的。据我们所知，有可能的情况是，一旦你到达一个非常大的数字，它们就会停止，你根本就找不到更多的孪生素数对。 Strogatz (15:40): 那个想法有一些非常诗意的东西，有点辛酸，可能在某一点结束。我的意思是，我们俩可能都不相信。但有可能，我猜，可以想象最后一对孤独的双胞胎依偎在黑暗中的数轴上。 梅兰妮 (15:57)：是的，有可能。而且，你知道，作为数学家，我们会说，我们不知道。即使你可以在你找到许多数对的同时绘制一个图表，而那个图表看起来真的肯定会以永远 - 永远不会转身的速度一直上升。但我想这是数学和科学之间区别的一部分，我们保持怀疑并说，好吧，我们不知道。我的意思是，也许在某个时候，图表会转过来，然后就没有了。 Strogatz(16:29)：我喜欢你的图表图像，因为我认为每个人都可以理解这个想法，制图，制作某种图表。你知道，把素数看作是一种数据。并且我认为这可能是我们转而开始讨论概率论的好时机。谈论与素数有关的概率和统计数据似乎有点奇怪，因为这里不涉及机会。素数是由我们给出的定义决定的，即它们不可被（1和自身之外的数）整除。但是像你一样的数学家和数论家在思考素数时使用了统计或概率论据。我想知道你是否可以使用抛硬币为我画出类似的东西，然后回到我们开始讨论的奇数和偶数。 梅兰妮 (17:14)：好的。与素数不同，我们实际上非常了解奇数和偶数的模式。它们当然会继续变成奇数、偶数、奇数、偶数。但是假设我们不理解这种模式。我们正在使用它来了解，如果你查看所有高达一百万的数字，你可能会找到多少个奇数。你可以想象，既然有两种可能性，一个数字可能是奇数或可能是偶数，也许有人会为每个数字掷硬币，如果硬币正面朝上，这个数字是奇数。如果硬币出现反面，则数字是偶数。所以你可以让你的掷硬币的人沿着数轴走，在每个数字上掷硬币，然后会宣布这个数字是奇数，或者宣布是偶数。 (18:03) 现在，一方面，这是无稽之谈。另一方面，抛硬币模型会做一些正确的事情。例如，如果你说，直到一百万的数字中有多少是偶数？我们知道，如果你进行大量的硬币翻转，比如一百万次，出现反面的硬币翻转次数大约是其中的一半。因此，该模型尽管可能很愚蠢，但仍然可以正确做出一些预测。我应该说，这听起来可能很愚蠢，因为我们已经知道这个问题的答案。这个想法是我们为更复杂的模式建立模型，比如素数出现在数字中的位置，而不仅仅是奇数出现的位置。 Strogatz(18:55): 是的。我的意思是，我认为我们需要强调这一点——素数是多么神秘。素数没有公式，而奇数有公式。就像如果你认为我们真的在这里谈论荒谬的东西，拥有这些可以预测平均属性的统计模型实际上非常有价值。就像类比一样，小于一个大数的一半数字将是奇数。在素数的情况下，这是一个非常严肃、有趣的问题。比一个大数小的数中有多少是素数？而且，正如你所说，你可以制作一个正确的统计模型。然后可以使用什么样的相同模型来预测有多少孪生素数会小于一个大数？在这种情况下，相同的模型是否做得很好？ 梅兰妮 (19:41)：在素数的情况下，如果我们要建立一个模型——有一个模型被数学家使用，称为素数的克拉默模型（Cramér model）——如果我们要建立一个素数的抛硬币模型，我们想象有人沿着数轴走，并且在每个数字上抛硬币，决定那个数字是素数还是非素数，我们会将我们所知道的关于素数的所有内容纳入该模型。所以首先，我们知道大数与小数相比，更不太可能是素数。所以这些硬币必须被加权。而且我们必须尝试精确地放入我们期望的权重。我们知道，你不能有两个相邻的素数，因为其中一个必须是奇数，而其中一个必须是偶数。所以我们把它放到模型中。然后还有更多关于素数的知识。 (20:37) 所以这个模型是从这个抛硬币模型开始的，但随后它被所有这些其他规则以及我们所知道的关于素数的所有其他事情所修改。一旦你把我们所知道的所有东西都放入模型中，然后你会问这个抛硬币的模型，你是否经常看到，硬币以间隔为2的距离出现质数？模型告诉你，哦，是的，我们确实看到了。事实上，我们以这个非常特殊的速度看到它，我们可以给你一个公式。然后，如果你绘制实际孪生素数的数量，在没有翻转硬币的实际数字中，与模型预测的情况相比，你会看到模型为你提供了对孪生素数数量的非常准确的预测。然后你想，也许这个模型知道它在说什么。 Strogatz (21:31)：太好了。我的意思是，这很重要，我们刚刚到达那里，那个 - 你还没有使用计算机这个词。但我假设你不是手动执行此操作。列出孪生素数的人，我不知道，我们在说什么？万亿万亿万亿个？我的意思是，这些都是我们正在谈论的大数字，不是吗？ 梅兰妮 (21:49)：嗯，对于孪生素数的列表，也就是说——绝对是由计算机完成的。但是为了建立这个模型并提出模型给出的公式。你知道，这是手工完成的，本质上，是由数学家思考模型并计算出来的。 Strogatz (22:07)：太酷了。所以这就是模型展示它的东西的地方，模型实际上可以预测计算机看到的东西。而且它不需要计算机来做出这个预测。这可以由人手工完成，并且实际上可以得到证明。除了它是模型属性的证明之外，还不一定是你感兴趣的事物的证明。 梅兰妮 (22:28)：对。在某个点，计算机停止了。你知道，只有这么多的计算能力。但是你会得到、模型会给你、你可以证明是正确的、关于这个抛硬币情况模型的那个公式，将继续下去。你可以将越来越大的数字放入该公式中，比你的计算机可以计算的要大得多。 Strogatz (22:53)：你已经告诉我们一些关于随机性如何帮助建立数论中有趣现象的模型，我相信在数学的其他部分也是如此。在某些情况下，可以使用随机性来提供实际证明，而不仅仅是模型？ 梅兰妮 (23:10)：当然。数学的另一个分支称为概率论。在概率论中，他们证明了关于随机系统的定理及其行为方式。你可能会想，如果你从一些随机的东西开始，然后你用它做一些事情，你总会有一些随机的东西。但是在概率论中发现的一件非常美妙的事情是，有时你可以从随机的东西中得到确定性的东西。 Strogatz (23:45)：嗯，它是如何工作的？比如？ 梅兰妮 (23:48)：嗯，你已经看到了数学家所说的钟形曲线或正态分布。它出现在自然界的各处。就像你看人们的血压，或者婴儿的出生体重，或者其他东西。你可能会想，这个钟形曲线，是自然的事实。但事实上，有一个定理，称为概率论中的中心极限定理，它告诉你实际上，这条钟形曲线在某种意义上不是自然事实，而是数学事实。中心极限定理告诉你，如果你独立地组合一大堆小的随机效应，那么它的输出将始终符合某种分布，这个形状，这个钟形曲线。数学和概率论，可以证明，如果你组合了很多小的独立随机事物，所有组合的结果会给你一个看起来像这个钟形曲线的分布，即使你不知道输入是什么样的。这是一个非常强大的定理，也是一个非常强大的数学工具。 Strogatz (25:05)：是的，确实如此。我喜欢你强调你不需要知道小效应发生了什么。那个，不知何故，被洗掉了。不需要该信息。钟形曲线是可以预测的，即使你不知道小效应的本质是什么。只要它们很多而且它们很少。它们不会相互影响，对，它们在某种意义上是独立的。 梅兰妮 (25:27)：是的，当然。所以这是一个想法，有时它在概率论中被称为普遍性（universality），如果你输入大量随机输入，你可以预测某些类型的机器的输出。比如，你会得到这个钟形曲线，或者这个正态分布，即使你不知道你在机器里放了什么。当有些事情我们不太了解时，这非常强大，因为—— Strogatz (25:56)：但是，——哦，我很抱歉打断你的话——你是在告诉我这也在数论中发生吗？不知何故，我们正在数论中出现普遍性的想法？还是我在做梦？ 梅兰妮 (26:09)：嗯，在某种程度上，我会说这是我的一个梦，它正在开始。你知道，我们只是，我们正在迈出实现它的第一步。这不仅仅是你的梦想，也是我的梦想。我今天所做的一些工作以及我和我的合作者正在努力使这种梦想成为现实，这样一些关于我们不知道答案的令人费解的问题，也许我们可以理解有一些模式会出现，比如钟形曲线，比如正态分布，即使我们不知道往其中所放入的奥秘也能从机器中证明出来。 Strogatz (26:55)：嗯，事实上，这是一个非常鼓舞人心、激动人心的愿景，我希望这一切都能实现。非常感谢你今天接受我们采访，梅兰妮。 梅兰妮 (27:03)：谢谢。这很有趣。 参考链接 https://www./how-do-mathematicians-know-their-proofs-are-correct-20220713/ |
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