已知运动物体的速度或加速度与时间的函数关系，通过对时间求定积分的方法就可以得到位置或速度与时间的依赖关系。我们已经对物体运动的几个基本概念做了简单的讨论。在《粒子沿直轨道运动》中，我们从中学的知识出发，给出了一个粒子在做自由下落运动时空间位置与时间之间的函数关系，并在《一维运动的速度与加速度》中导出了下落速度和加速度对时间的依赖关系。这就带来了两个问题：第一个问题是，粒子在运动时，它的空间位置与时间的函数关系总是已知的吗？第二个问题是，空间位置与时间之间的函数关系是如何获得的？对第一个问题的回答显然是否定的。作为对这个问题的进一步回应，我们在这一小节中将着手解决如何获得这个函数关系的问题，借此也回答了上述第二个问题。作为解决上面提出的第二个问题的第一步，我们可以先反过来提出这样一个问题：既然知道了粒子的位置随时间的变化关系，就可以通过对时间求导数的方法得到粒子的运动速度和加速度对时间的依赖关系，那么，如果已经用某种方法得到了速度或加速度随时间的改变，是否也可以通过某种数学方法求得粒子的空间位置与时间的函数关系呢？假定我们已经通过某种途径得到了速度对时间的依赖关系。为了求出空间位置 与时间 的函数关系，假定粒子在 时刻从 处开始运动，于时刻到达处。将这段轨迹按照上面左边图的图示划分成首尾相接的 段：在这个图中，虚线代表位置与时间的假想的函数关系，其中 ，每一段的时间间隔和位移分别为
显然，粒子在整个运动过程中发生了一个位移，另一方面，根据刚才对轨迹的划分，这个位移应该等于段位移的代数和
在上面的表达式中，符号Σ代表对求和指标 i 从 1 到 n 求和。由于在每一段位移中必定有一个平均速度，根据平均速度的定义，每一段位移必定满足。于是
接下来，让前面对轨迹的有限划分过渡到无限划分，这其实就意味着每一段位移和对应的时间间隔趋于零：，在这个极限下，每一段位移对应的平均速度趋于每个时刻的瞬时速度。从数学上看，在这种极限划分下，求和就转化成定积分：
这是位置与速度的积分关系，它给出了位置按怎样的函数形式依赖于时间。如果已经通过某种途径获得了加速度对时间的依赖关系，也可以通过与上述类似的分析得到速度与时间的依赖关系：
有了这个关系，利用位置与速度的积分关系就可以进一步求出位置与时间的函数关系。我没有详细地分析最后一个公式是如何得到的，只在上面右边图的图示中给出了进行这个分析所需要的函数图，具体的分析过程留给各位思考。这是你大显身手的机会，以此验证你是否已经学会了物理学处理问题的其中一种方法。
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