《九章算术》〈商功〉之斛法及相关体积题上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要
：《九章算术?卷五》之题为〈商功〉，主要为计算物体之体积。本文所涉及者乃斛法。粟率五，而米率三，故米一斛于粟一斛五分之三；另外尚涉
及斛之尺寸。关键词：斛法粟率米率釜《九章算术?卷五》之题为〈商功〉﹝《九章算术》简称为《九章》﹞，指工程涉及物体之体积。本文
主要谈及斛法及其相关之尺寸。笔者有文名为〈《九章算术》〈商功〉之土壤转换及城沟体积题〉、〈《九章算术》〈商功〉之阳马与截头方锥体积
题〉、〈《九章算术》之〈商功〉分立方体为3：2：1〉、〈《九章算术》〈商功〉之羡除与刍甍体积题〉、〈《九章算术》〈商功〉之刍童及曲
池体积题补充〉及〈《九章算术》〈商功〉之“委谷依垣”体积题〉，本文乃以上六文之延续。笔者已有文谈及古人之斛法，本文作进一步补充。第
1节《九章》〈商功〉中之斛法刘徽注《九章》主要谈及各问题之算法，另外尚谈及其他相关课题，例如于〈商功〉卷中，刘徽于此章则附
带谈及斛法，及汉魏时之“斛”。“斛”是一种谷物容量单位，但亦为容器之名，当谷物盛满一“大司农斛”﹝汉魏晋时名称﹞时，是为“一斛”之
该种谷物。《九章?卷五》曰：程粟一斛，积二尺七寸；〔二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。〕其米一斛，积一尺六寸五分
寸之一；〔谓积一千六百二十寸。〕其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。〔谓积二千四百三十寸。〕以下为三量器﹝斛﹞图：以上括号
内文字乃刘徽之注文。粟一斛其体积为2立方尺，“斛”之大小为一尺平方及其高为2尺，其体积为2700立方寸﹝见上图(a)
﹞。米一斛体积为1尺6寸，即1立方尺，“斛”之大小为一尺平方及其高为1尺6寸，其体积为1620立方寸﹝见上图(b
)﹞。《九章》曰：粟率五，米率三，故米一斛于粟一斛，五分之三。从以上可知2×===1﹝尺﹞。即(b)图之高
乃(a)图之。菽、荅、麻、麦一斛皆2立方尺，“斛”之大小为一尺平方及其高为2尺，其体积为2430立方寸﹝见上图
(c)﹞。汉时大致上有以上之三种“斛”。因谷物众多，不能每种谷物均制一斛量之，只取其量大而常见者而为之。“斛”乃“五量”中之最大
单位，《汉书?律历志上》云：量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。本起于黄钟之龠，用度数审其容，以子谷秬黍中者千有二百实其龠，
以井水平其概。合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛，而五量嘉矣。1200秬黍为一龠，二龠为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为
一斛，是为“五量”。“合龠为合”指“二龠为一合”。据刘徽所云，其时大司农斛﹝汉时亦为大司农掌斛﹞之圆直径为1尺，深一尺，若徽术
π=，则其体积=××1=1441﹝立方寸﹞，尚有立方寸，取此分数之近似值为，故大司农斛之体积约为1441
立方寸。但刘徽无说明此尺码之斛用于量度何种谷物。刘徽亦提及王莽时之铜斛，曰：王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘二
毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇。王莽铜斛直径1尺，深尺，若徽术π=，则其体积=××=140
4﹝立方寸﹞。因晋时1441立方寸为1斛，新莽之1404立方寸显然不足1斛；实际数为1404÷1441斛
=斛，即9斗7升4合有奇。刘徽引《冬官?考工记》曰：《周官?考工记》：槩氏为量，深一尺，内方一尺而圆外，其实一釜。
于徽术，此圆积一千五百七十寸。此量器外为图柱形，内可藏一正立方体，边长一尺，此量器之容积是为一“釜”，圆柱“釜”之体积为1570
立方寸，见下文之图形及算法。《冬官?考工记》曰：量之以为釜，深尺，内方尺而圜其外，其实一釜。其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一
升。重一钧。其声中黄钟之宫。槩而不税。“釜”之底有“臀”，其高一寸，其容积为一豆；其“耳”三寸，其容积为一升。“一钧”是为三十斤，
即此釜重三十斤。以下为《冬官?考工记》之釜图﹝此图不包括“臀”和“耳”，可参阅朱载堉撰《嘉量算经》之釜图﹞：AD=DC=1
0寸，AC2=AD2+DC2=102+102=200。釜之体积=×200××10=1570﹝
立方寸﹞。附带一提圆径为√200=14.14214﹝寸﹞。刘徽又注曰：《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四升曰豆
，各自其四，以登于釜。釜十则钟。”《春秋左氏传?卷四十二?昭公三年》曰：齐旧四量：豆、区、釜、钟。四升为豆，各自其四，以登于釜。釜
十则钟。注意四升为豆，四豆为区，四区为釜，十釜为钟，是为“四量”。“各自其四”指四进制。64升为釜，即1釜有6斗4升
，釜方1尺，深1尺，其体积为1000立方寸。即1000立方寸为64升，则1570立方寸有升，即100升
，100升为10斗，升为4合，即4合8龠，100升即10斗4合8龠。与十斗四合一龠五分龠之三有出
入。以下为《左传》提及之四量：明?朱载堉撰《嘉量算经》有以下之釜图：右方是为仰釜图，左方是为覆釜图。朱载堉之图可能依《冬官?考工记
》之描述而绘制，釜用铜制，圆形，其内能容一尺之正方形，高一尺，其旁有“庣”焉。“庣”，粤音“挑”，阴平声。“庣”指凹下之处。唐．颜
师古注曰：“庣，不满之处也。”。《汉书?卷二十一?律历志上》曰：其法用铜，方尺而圜其外，旁有庣焉。其上为斛，其下为斗。左耳为升，右
耳为合龠。其状似爵，以縻爵禄。《汉书》所言之釜含四种容量，其上为斛，即中央部份容一斛；其下为斗，即臀可容一斗。左耳为升，即左耳只容
一升；右耳之容量为最小，只有两龠。《太平御览?器物部十?斛》曰：《汉书》曰：量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。本起于黄钟之
龠，以子谷秬黍中者千有二百实其龠。二龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛，而五量嘉矣。其法用铜，方尺而围其外，旁有庣斤焉。其上为斛
，下为斗，左耳为升，右耳为合。合者，为合龠之量也；升者，登合之量也；斗者，聚升之量也；斛者，角斗平多少之量也。夫量者跃于龠，合于合
，登于升，聚于斗，角于斛也。职在太仓，大司农掌之。《隋书?卷十六?志第十一?律历上》曰：﹝斛﹞圆象规，其重二钧，备气物之数，各万有
一千五百二十也。声中黄钟，始于黄钟而反复焉。其斛铭曰：“律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸
，容十斗。”祖冲之以圆率考之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽，庣旁一分九毫有奇。刘歆庣旁少一厘四毫有奇，歆数术不精之所致也。
“幂百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。”之说见前图。至于“祖冲之以圆率考之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽”，笔者
未知其算出之法，依以上所云圆径为√200=14.14214寸，即一尺四寸一分四厘二毫一秒四忽。以下为《嘉量算经》之釜图：
朱载堉之图与《冬官?考工记》所记略有出入，《考工记》云釜深一尺，内方边各一尺，而其外为圆，则其容量是为“一釜”，朱载堉之图配合。“
其臀一寸，其实一豆”指釜之底有一小圆柱体，高一寸，称为“臀”，将釜覆转以底朝天，以谷物填满此“臀”，则其容量是为“一豆”。据朱载堉
之图看来，“臀”之直径比釜小，但无尺寸。《考工记》云“其耳三寸，其实一升”，“三寸”指其深，但朱载堉之图言其深为四寸，耳之直径一样
无标示。若以谷物填满此“耳”，则其容量是为“一升”。依朱载堉之见，以四寸为合。《嘉量算经》曰：《周礼》经文﹝见《冬官?考工记》﹞
氏为量，…量之以为鬴，深尺，内方尺而圜其外，其实一鬴。其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一升。重一钧。其声中黄钟之宫。槩而不税。“
氏”之“”音“栗”。“釜”同“鬴”。《嘉量算经》曰：鬴…内方尺，示矩也；圆其外，示规也。臀一寸，耳三寸﹝三当作四﹞，皆示度也。实一
鬴﹝即八斗也﹞，实一豆﹝即四升也﹞，实一升﹝即二十龠﹞，皆示量也。重三十斤，示权衡也。注意一钧为三十斤。《嘉量算经》之引文一样言“
其耳三寸”而非四寸，但声明“当作四”，朱载堉之理由十分明显，因为古时以四升为豆，四豆为区，四区为釜，皆四进制，故应四寸而非三寸。以
下为《汉书》所云之量器：汉制“五量”为二龠为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，故以上之量器足以量出“五量”中之“四量”。若
1斛为1570立方寸，见前文。则臀容量1斗之体积为157立方寸，若其高为1寸，其半径为r，依徽率==3
.14，可知：3.14r2=157r2=50r=7.0710682r=14.142136，所以臀之直径约为14
寸。左耳容量1升之体积为15.7立方寸，若其高为3寸，其半径为s，依徽率==3.14，可知：3×3.14
s2=15.7s2=s=1.2912s=2.5819889，所以左耳之直径约为2.582寸。右耳容量1合之
体积为1.57立方寸，若其高为h寸，其半径为s，依徽率==3.14，可知：h×3.14s2=1.57h
×3.14×=1.57h×=h=，故高为3分。若依朱载堉说，左耳高为4寸，则s2=，s=
1.118034，2s=2.236068，所以左耳之直径约为2.236寸。若s相同，同理，右耳之高为4分。第2节
《九章》〈商功〉之仓廪相关算法以下问题须将容积化成体积。【第二十七题】今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？答曰：
二丈。术曰：置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺。解：“袤”，长也。依前文，粟一斛合2立方尺，一万斛合100
00×=27000立方尺。因此仓之高==20﹝尺﹞=2丈。〔以广袤之幂除积，故得高。按：此术本以广袤相乘，
以高乘之，得此积。今还元，置此广袤相乘为法，除之，故得高也。〕答：仓之高为2丈。【第二十八题】今有圆囷，〔圆囷，廪也，亦云圆囤
也。〕高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问：周几何？答曰：五丈四尺。解：北宋?李籍《音义》曰：仓圆曰囷。《说文》曰：囷，廪之圆者。
原题之“少半”即。若圆仓之半径为r，圆周为C，高为h，则2πr=C，即4π2r2=C2，圆面积πr2=，圆仓
体积为。(1)若依“疏率”计算，“周三径一为率”即π=3，圆囷体积=hπr2=。h=13尺3寸=
13尺=尺，米一斛体积为1尺6寸，即1立方尺，2000斛合2000×=3240﹝立方尺﹞。依题意可得
方程式3240=×=×C2=324×9=2916C=54﹝尺﹞。答：圆周五丈四尺。(2)若依“
徽术”计算，即π=，3240=×3240=××3240=××3240×314=2
5××C2C2===3052C=55尺2寸。〔于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高为法。所得，开方除之，即周也。此亦据见幂以求周，失之于微少也。〕〔于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。〕术曰：置米积尺，〔刘徽注：此积犹圆堢壔之积。〕以十二乘之，令高而一。所得，开方除之，即周。(3)若依“密率”计算，即π=，3240=××3240×88=(7×)C2C2=C=55﹝尺﹞。淳风等按云：依密率，以八十八乘之，为实。七乘囷高为法。实如法而一。开方除之，即周也。见以上算式。淳风等按：依密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。开方后得C=55尺。(1) |
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