高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质。

椭圆的离心率：0＜e＜1；

双曲线的离心率：e＞1；

抛物线离心率：e=1。

下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法。

一、直接求出a、c，求解e

在求解离心率e，

椭圆中存在：a²=b²+c²

双曲线中存在：c²=a²+b²

这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。

例1、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（   ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

例2、已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于多少？

解：

 

二、变用公式，整体求出e

椭圆与双曲线求离心率还有如下变形

例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：由（其中k为渐近线的斜率）。这里，则，从而选A。

 

三、统一定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例4、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（   ）

A. 

B. 

C. 

D. 

解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。

四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b²=a²-c²(椭圆)或者b²=c²-a²(双曲线)，消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e。

例5、设双曲线的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于多少？

解：

例6、设双曲线(0＜a＜b)的半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为多少？

解：

五、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值。

例7、已知、是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（    ）

A. 

B. 

C. 

D. 

解：如图，设的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式，即，得，有，解得（舍去），故选D。

六、特殊结论

例8、已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是多少？

解：

例9、设F₁，F₂分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点,点A在双曲线上，且AF₂与x轴垂直，若，则双曲线的离心率是多少？

解：