走近数学(5) —— 数学与智慧之四(归纳通式) 冯跃峰 本文介绍“归纳通式”在生活实际中的应用。 所谓“通式”,就是合乎所有对象特征的一个统一表达式。通过观察各个对象的特征,归纳出通式,借以发现相关问题的性质,是数学中解决问题的常用策略。 下面介绍这一思想方法在生活实际中的应用。 先看下面一个著名的逻辑问题: 例1、在某地有A,B两个村庄,A村的人都说真话,B村的人都说假话。说真话者句句为实,说假话者句句非真。 今有一人甲要到A村去,行至一个分叉路口,不知哪条路通向A村。碰巧迎面走来一个人乙,甲已经知道,乙要么是A村人,要么是 B村人,但不知道他究竟是哪个村的人。 现在,甲有一次向乙提问一次的机会,而乙则一定会回答甲所提出的问题。试问: 甲应提一个怎样的问题,才能从乙的回答中判断出去A村的路线? 我们从数学的角度来思考这一问题。 先考察解题的目标。甲向乙的一次提问,要产生这样的效果:使乙不论是A村人还是B村人都会作同样的回答。 这实际上就是要找一个“通解”,因此,可作这样的设想: 这表明,A村方向相对于A村的人而言是“真实方向”,而相对于B村的人而言是“虚假方向”。 因此,若乙∈A,则应问去A村方向;若乙∈B,则应问去B村方向。 将其共同特征抽象出来,按数学的“通式”表达方式合并为一个式子:乙∈X村,则问去X村的方向(其中X=A或B)。 至此,即可发现如何提问了。一个适合的提问是:去你所在的村庄应走哪条路? 不过,此题原来的解答中给出的提问是:“你是从哪条路来的?” 这个解答似乎存在漏洞:因为要由这个提问判断去A 村的路线必须有一个前提,即从A村来的必是A村人,从B村来的必是B村人。 但实际情况并非一定如此。比如,乙可能是A村人,刚刚去B村办事,现在返回。而我们这里的提问则不存在这样的漏洞。 我们再看一个我国历史上的例子。 例2、文成公主(公元625-680年),是唐朝宗室女,多猜测其父为江夏郡王李道宗。贞观15年(641年)正月十五,唐太宗将文成公主下嫁吐蕃王朝立国之君松赞干布。从此,中原与吐蕃之间关系极为友好,使臣和商人频繁往来达200多年之久。 据说,文成公主与松赞干布成婚前,有下面一段佳话。 文成公主既聪明又美丽,许多人向她求婚。面对众多的求婚者,文成公主提出了一个允婚的条件:谁能提出一个难倒她的问题,她就嫁给谁。 众多的求婚者虽然提出了许多稀奇古怪的问题,但文成公主都对答如流。他们都是高兴而来,败兴而归。 松赞干布知道后,决定设置一个“殊途同归”的问题,逼其就范。他见到文成公主后,恳切地对她说:“请问公主,为了使您成为我的妻子,我应该提什么样的问题才能难倒您?” 聪慧的文成公主听后,二话没说,就应下了婚事。 文成公主不得不答应这桩婚事,是因为松赞干布的问题,相当于得到一个“通式”:无论公主如何回答,都只能答应成为他的妻子。 实际上,如果公主能告诉松赞干布一个可以难倒她的问题,那么松赞干布就可以用该问题难倒文成公主,使公主成为他的妻子; 如果公主不能告诉松赞干布一个可以难倒她的问题,那么,松赞干布的这个问题就难倒了公主,公主也得成为他的妻子。 下面是一个国外的例子,与之有异曲同工之妙! 例3、古希腊有个国王,一次想处死一批囚徒。那时候,该国处死囚徒的方法仅有两种:一种是砍头,另一种是用绳绞死。 国王派刽子手向囚徒们宣布道:“国王陛下有令,让你们任意挑选一种死法:你们可以任意说一句话——如果说的是真话,就绞死;如果说的是假话,就杀头。” 反正是一死,许多囚犯顾不得多想,都随意地说一句话。结果,或是被绞死,或是被砍头。 在这批囚徒中,有一个很聪明的人。当轮到他来选择处死方法时,他忽然巧妙地对国王说:“你们要砍我的头!” 国王一听感到很为难:如果真的砍他的头,那么他说的话是真话,而说真话是要被绞死的;但是如果要绞死他,那么他说的“砍我的头”便成了假话,而假话又是应该被砍头的,但他说的却不是假话。 他的话既不是真话,又不是假话,也就既不能绞死,又不能砍头。国王只能挥挥手把他放了,那条奇怪的法令也就马上被废除。 |
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