中考专题·压轴赏析｜抛物线与相似-经典系列（3）

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近几年中考真题汇总系列：

抛物线与相似—经典系列（3）

【图文解析】

(1)由直线解析式，得：

A（2，0），B（0，3），

由抛物线过A点，得关于m的方程，

解之得m=3，

所以抛物线的解析式为

y＝－3/4x²＋6x－9

＝－3/4（x-4）²+3，

得顶点D（4，3），

得所求的点C的坐标为（6，0）.

(2)法一：由A、B、C、D点的坐标，

得AB＝AD＝√13，

当∠DPE＝∠CAD时，

得∠1＝∠2＝∠3＝∠4.

如下图示：

进一步，得PQ∥AB.

又AC∥BD，

所以ABPQ是平行四边形，

得BP＝AQ，所以有：

得2t=4-3t，解得t=4/5.

法二：（虽有点麻烦，但却是通法）

当∠DPE＝∠CAD即∠1＝∠2时，

tan∠1＝tan∠2，所以有：

进一步，得x_Q－x_P=x_D－x_A.

如下图示：

所以4-2＝（6-3t）－2t，

解得t=4/5.

②需要分两种情况讨论：如下图示，

 

当点N在AB上时，得：

PN＝y_P－y_N＝3t，

同时ME＝PN＝3t，EF=y_N=3-3t，

PD＝4-2t，AQ＝4-3t.

再通过△PED∽△QEA，

得：ME/EF＝PD/AQ

即：

当点N在AD上时，

可证得E，N两点重合，

此时PQ⊥BD，如下图示：

 

---

【图文解析】

（1）基础（常规）题，答案为：

y₁＝－x²＋1；y₂＝3x²－3．

（2）假设存在正方形EFGH满足条件，如下图示：

 若设x_E=m(0<m<1)，

根据抛物线的对称性和解析式，

可得:  EF＝2m，

且EH＝y_E－y_H

＝(1-m²)-(3m²-3)

＝4-4m².

当四边形EFGH为正方形时，

有EF＝EH，

所以有4－4m²＝2m(0<m<1)，

解得 

所以图形ABCD存在内接正方形．

（3）由于C点与E点是对应顶点，

且△BCD中的∠BCD为钝角，

得以E为顶点的∠AED也必为钝角，

因此有以下几种情况：

以及上述点关于AD对称的点显然也符合题意．如下图示：

下面逐一分析：

情形一：

     显然由DC:DB=DE₁:DA可求得DE₁＝2.5，所以E­₁（-0.5，0）.

情形二：注意到本题中的45⁰的角，再根据对称性，不难得到：

所以E­₂（1.5，－1）.

情形三：如下图示：

得AE₃与y轴平行，

且AE₃＝2.5（求法与情形一相同）．

所以E­₃（1，－2.5）.

情形四：类似于第二种情形的解法，

可得：

所以E4（-0.5，－2.）.

综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即（0，-0.5）或（1.5，－1）或（1，－2.5）或（－0.5，－2）．

【图文解析】

【题干解读】

由A,C两点均在抛物线上，将其坐标直接代入原解析式，可求得y＝0.5x²＋2.5x＋3；

由点B为直线y＝0.5x＋3的交点，联立两解析式，可求得B(-4,1)；

由A、B、C三点坐标，通过勾股定理可分别求AC＝3√2，BC＝√2、AB＝2√5，同时BC、AC与x轴相交所得的锐角为45⁰，直线BC为y=-x-3.

进一步可得到△ABC为直角三角形.

又因D为抛物线与x轴的另一交点，

由0.5x²＋2.5x＋3＝0，

得另一根为-2，从而D（-2，0）.

【逐题解析】

（1）由题干解读，知：抛物线的解析式为y＝0.5x²＋2.5x＋3.

（2）由抛物线的解析式，可得对称轴为直线x=-2.5.本题是常见的直线上的相关最值问题，可通过对称，构造基本图形，连接MC，如下图示：

由抛物线的对称性可得MC＝MD，所以｜MB－MD｜＝｜MB－MC｜，根据'两点之间线段最短'或'三角形的三边关系'，得｜MB－MC｜≤BC＝√2，当点M在直线BC上时，｜MB－MC｜最大，｜MB－MD｜的最大值为√2.

如下图示：

对于直线BC：y=-x-3，

当x=-2.5时，y=-0.5,

所以符合条件的点M(-2.5,-0.5).

---

（3）根据题意可画出如下图：

由题干精析知：△ABC是直角三角形，且BC：AC＝1/3.因此当Rt△APQ的一个锐角∠PAQ=∠BAC或∠PAQ=∠ABC时，两三角形相似.

即当tan∠PAQ＝tan∠BAC＝1/3或tan∠PAQ＝tan∠ABC＝3时，两三角形相似.（在坐标系中常用此法——'斜化直'：转化为坐标间的关系）.

若设(t，0.5t²+2.5t+3），

则PM＝t，

MA＝y_P-y_A=0.5t²+2.5t.

所以tan∠PAQ＝PM/MA＝1/3或3，

即PM＝1/3MA或PM＝3MA，

即t=1/3(0.5t²+2.5t)，

解得t=0(舍去)，t=1，

此时对应的点P（1，6）.

或：t=3(0.5t²+2.5t)，

此方程的两实根均为负数，

不符合题意.

综上所述，存在点P（1，6）,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.

至此，本文三道压轴解析结束！

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