 小 作 者 温州市少年艺术学校 六（1）班 胡郗芮 指导老师 章璋 我们都熟悉的平方数数列，它虽不是等差数列，但我们能否发现其内在的规律呢：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121……我们将此数列中相邻两数之差写成一个新的数列：3,5,7,9,11,13,15,17,19,21……很容易发现这是一个等差数列，这就意味着只要知道一个平方数和它的顺序数，就可以方便地求出与它相邻的几个平方数。 那么进一步想，立方数有这样的规律吗？立方数数列如下：1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000……我们先对此数列进行与对平方数相同的处理，得到新的数列如下：7,19,37,61,91,127,169,217,271……粗看之下，此数列并没有什么显著的特点。 那么，再进行一次以上的处理，如何？12,18,24,30,36,42,48,54……看！等差数列出现了！它的首项为12，公差为6，于是我们知道，立方数数列也有类似于平方数数列的规律。 为什么平方数和立方数有这样的规律呢？我们来探究下。 对于平方数数列来说，数列的第n+1项与第n项之差k，可以表示为（n+1）²-n²=k，简化为k=2n+1。很明显，这就是一个等差数列的函数表达式。 由此，平方数数列有这样的规律的原因已经明晰了。类似地，对于立方数列来说，有没有这样的表达式呢？立方数列的第n+1项与第n项之差k可以表示为（n+1）³-n³=k，化简得k=3n³+3n+1。 通过再次将此数列中相邻两数之差，进一步得到的这个新数列的第n+1项与第n项之差k可以化简表示为k=6n+6——这是一个等差数列，代表的正是之前实验得出的等差数列12,18,24,30,36,42,48,54…… 由此我们知道，平方数数列、立方数数列遵循这样的规律是可以通过理论证明的。 我们发现了平方数列和立方数列分别遵循如下规律：将数列中相邻两数之差作为一个新的数列，重复这一过程(确切地说是重复n-1次)，最终可以得到一个等差数列。原来数学规律无处不在，只要你用心观察。 |
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