|
本题选自2022年广西北部湾中考数学倒数第2题，其中第3问考查的是线段与抛物线的交点问题，是近些年的热点问题。 【题目】 已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求点A，点B的坐标； （2）如图，过点A的直线l：y=-x-1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA=PC时，求m的值； （3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y=a(-x²+2x+3)（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【分析】 （1）求与x轴的交点，只需令y=0即可。 当时，， （2）本题属于等腰三角形的存在性问题。 【方法一】 联立直线AC的解析式与抛物线的解析式， 得到点C的坐标为（4，-5）。 设P（1，y）， 则AP²=4+y²，CP²=9+(y+5)²， 则4+y²=9+(y+5)²，解得y=-3。 点P的坐标为（1，-3）。 【方法二】
如图，求出点C的坐标为（4，-5）。 再过点C作x轴的平行线，过点A作y轴的平行线，交于点G， GC与抛物线的对称轴交于点Q， 连接GP并延长交AC于点H。 可以得到△GPQ为等腰直角三角形， 那么PQ=GQ=2，所一点P的纵坐标为-3， 即P(1,-3)。 （3）求新抛物线与平移后的MN有且只有1个交点。 抛物线y=a(-x²+2x+3)的顶点为（1,4a）。 需要分成两种情况讨论，即a＞0或a＜0。 ①当a＞0时，可以得到抛物线的开口是向下的。 当抛物线的顶点在MN上时，满足条件， 此时4a=5，得a=5/4，（红色抛物线） 当a越大时，顶点越高，此时抛物线与MN有两个交点， 当抛物线恰好经过点M时，此时仍有2个交点， 代入得，3a=5，得a=5/3，（黄色抛物线） 即a＞5/3或a=5/4时，抛物线与MN有且只有1个交点。
②当a＜0时，抛物线的开口向上。 当抛物线经过点N时，此时抛物线与MN有一个交点，当开口变大（|a|越小）与抛物线没有交点。 把点N的坐标代入，得5=a（-16+8+3）， a=-1。（绿色抛物线） 当抛物线与MN有一个交点时，|a|的绝对值变大，开口变小， 即此时的a≤-1。 经过分析，得到a的取值范围为a＞5/3或a=5/4，或a≤-1。 【总结】 本题的第（3）问是比较典型的题目值得研究。此类问题关键是抓住图象的变化情况，以及确定临界位置。 《中考数学压轴题全解析》第309页11.8有相关专题介绍。
|
|
|
