中考二次函数压轴题汇编
2．如图1，已知抛物线y=﹣x2bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S．
求S关于t的函数表达式；
求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y=ax2bx（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．
（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PMl于M．
问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QPPF的最小值．
6．已知直线y=x3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式；
（2）当t为何值时，AMN为直角三角形；
（3）过N作NHy轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MHAB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作ACOA交抛物线于C，连接OC，求AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MNOM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，已知二次函数y=ax21（a0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kxb（k0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．
（1）求a值并写出二次函数表达式；
（2）求b值；
（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；
（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
9．如图，已知抛物线y=ax2x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使PBC的面积最大．若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．
10．已知：如图，抛物线y=ax2bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．综合与探究
如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
13．已知抛物线y=ax2bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0；当0x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且ABC有一个内角为60°．
求抛物线的解析式；
若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分MPN．
14．如图，已知抛物线y=ax2bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0t≤5）．
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当t=0时，求SOBN的值；
（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线y=ax2﹣5axc与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AMAN的最小值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PAPB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
19．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当AOP=45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当AHP=45°时，求抛物线的解析式．
20．如图所示，将二次函数y=x22x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2bx+c的图象．函数y=x22x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAMN，使AMN的面积为ABC面积的？若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知抛物线y=ax2bx+c（a0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知顶点为A抛物线经过点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若OPM=∠MAF，求POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
23．已知抛物线y=ax2bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0；当0x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，ABC有一个内角为60°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1y2，解决以下问题：
求证：BC平分MBN；
求MBC外心的纵坐标的取值范围．
24．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q．过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
25．如图，抛物线y=ax2bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
当x1，y0时，求BDF的面积的最大值；
当AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PEy轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．
27．已知抛物线F：y=x2bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）如图1，直线l：y=xm（m0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．
判断AA′B的形状，并说明理由；
平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．
29．如图，已知抛物线y=ax2bx（a0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线ACx轴，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得SAOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2axc（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
31．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
32．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2b（a0）与x轴交于A，B两点，直线y=xm过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2b（a0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax22x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
求证：PDQ=90°；
求PDQ面积的最小值．
35．抛物线y=﹣x2x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
（1）点A，B，D的坐标分别为，，；
（2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
36．如图，抛物线y=ax24x+c（a0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．
当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和ABF的面积；
当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．
37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若AOD与BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
38．如图，抛物线y=ax2bx+c（a0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1x2），当时，求k的值；
（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当SPOQ：SBOQ=1：2时，求出点P的坐标．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）
39．如图，在平面直角坐标系中，ACB=90°，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．
求点P的坐标；
在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2bx（a、b为常数，a0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NEx轴于点E．把MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把MOK绕点O顺时针旋转90°得到M′OK′，点F为直线l′上的动点．当M''FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．
2018年07月10日1393005的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．如图，点A，B在双曲线y=（x0）上，点C在双曲线y=（x0）上，若ACy轴，BCx轴，且AC=BC，则AB等于（）
A． B．2 C．4 D．3
【解答】解：点C在双曲线y=上，ACy轴，BCx轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
AC=BC，
﹣=3a﹣a，
解得a=1，（负值已舍去）
C（1，1），B（3，1），A（1，3），
AC=BC=2，
Rt△ABC中，AB=2，
故选：B．
二．解答题（共39小题）
2．如图1，已知抛物线y=﹣x2bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S．
求S关于t的函数表达式；
求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2bx+c，
，解得：，
抛物线的表达式为y=﹣x22x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
抛物线y=﹣x2bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
抛物线的表达式为y=﹣x22x+3，
点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
点M的坐标为（1，6）；
当t2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
点P的横坐标t=12﹣0=2．
又t≠2，
不存在．
（3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mxn（m0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mxn，
，解得：，
直线BC的解析式为y=﹣x3．
点P的坐标为（t，﹣t22t+3），
点F的坐标为（t，﹣t3），
PF=﹣t22t+3﹣（﹣t3）=﹣t23t，
S=PF?OB=﹣t2t=﹣（t﹣）2．
﹣0，
当t=时，S取最大值，最大值为．
点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
线段BC==3，
P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．
3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），
OA=1，OB=3
OCA∽△OBC，
OC：OB=OA：OC，
OC2=OA?OB=3，
则OC=；
（2）C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，
OC=BC，
点C的横坐标为，
又OC=，点C在x轴下方，
C（，﹣），
设直线BM的解析式为y=kxb，
把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，
解得：b=﹣，k=，
y=x﹣，
又点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，
解得：a=，
抛物线解析式为y=x2﹣x2；
（3）点P存在，
设点P坐标为（x，x2﹣x2），过点P作PQx轴交直线BM于点Q，
则Q（x，x﹣），
PQ=x﹣﹣（x2﹣x2）=﹣x23x﹣3，
当BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
SBCP=PQ（3﹣x）PQ（x﹣）=PQ=﹣x2x﹣，
当x=﹣=时，SBCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．
4．如图，抛物线y=ax2bx（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），
当t=2时，AD=4，
点D的坐标为（2，4），
将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，
解得：a=﹣，
抛物线的函数表达式为y=﹣x2x；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，
AB=10﹣2t，
当x=t时，AD=﹣t2t，
矩形ABCD的周长=2（ABAD）
=2（10﹣2t）（﹣t2t）
=﹣t2t+20
=﹣（t﹣1）2，
﹣0，
当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，
当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），
矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；
当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，
当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，
AB∥CD，
线段OD平移后得到的线段GH，
线段OD的中点Q平移后的对应点是P，
在OBD中，PQ是中位线，
PQ=OB=4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．
（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PMl于M．
问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QPPF的最小值．
【解答】解：（1）抛物线y=（x2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）
抛物线y=（x2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．
（2）存在一定点F，使得PM=PF恒成立．
如图一，过点P作PBy轴于点B
设点P坐标为（a，a2）
PM=PF=a2+1
∵PB=a
∴Rt△PBF中
BF=
OF=1
∴点F坐标为（0，1）
由，PM=PF
QPPF的最小值为QPPM的最小值
当Q、P、M三点共线时，QPPM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
QP+PF的最小值为6．
6．已知直线y=x3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式；
（2）当t为何值时，AMN为直角三角形；
（3）过N作NHy轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MHAB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线y=x3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．
将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2bx+c，得：
，解得：，
抛物线解析式为y=x24x+3．
（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），
AM=3﹣t，AN=t．
AMN为直角三角形，MAN=45°，
AMN为等腰直角三角形（如图1）．
当ANM=90°时，有AM=AN，即3﹣t=2t，
解得：t=1；
当AMN=90°时，有t﹣3=﹣t，
解得：t=．
综上所述：当t为1秒或秒时，AMN为直角三角形．
（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．
当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），
点E的坐标为（t﹣3，0），点H的坐标为（t﹣3，t2﹣2t）．
MH∥AB，
EMH=45°，
EMH为等腰直角三角形，
ME=HE，即2t﹣3=|t2﹣2t，
解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=，t4=﹣（舍去）．
当t=时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，
此时MHAB，
t=1．
存在点H使MHAB，点H的坐标为（﹣2，﹣1）．
7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作ACOA交抛物线于C，连接OC，求AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MNOM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣），
把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，
抛物线解析式为y=﹣x（x﹣），
即y=﹣x2x；
（2）延长CA交y轴于D，如图1，
A（1，1），
OA=，DOA=45°，
AOD为等腰直角三角形，
OA⊥AC，
OD=OA=2，
D（0，2），
易得直线AD的解析式为y=﹣x2，
解方程组得或，则C（5，﹣3），
S△AOC=S△COD﹣SAOD
=×2×5﹣2×1
=4；
（3）存在．
如图2，作MHx轴于H，AC==4，OA=，
设M（x，﹣x2x）（x0），
OHM=∠OAC，
当=时，OHM∽△OAC，即=，
解方程﹣x2x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣（舍去），
解方程﹣x2x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，﹣54）；
当=时，OHM∽△CAO，即=，
解方程﹣x2x=x得x1=0（舍去），x2=，此时M点的坐标为（，），
解方程﹣x2x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣，此时M点坐标为（，﹣）；
MN⊥OM，
OMN=90°，
MON=∠HOM，
OMH∽△ONM，
当M点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的AOC相似．
8．如图，已知二次函数y=ax21（a0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kxb（k0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．
（1）求a值并写出二次函数表达式；
（2）求b值；
（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；
（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）二次函数y=ax21（a0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），
2=4a+1，解得：a=，
二次函数表达式为y=x21．
（2）一次函数y=kxb（k0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），
2=k×0+b，
b=2．
（3）证明：过点M作MEy轴于点E，如图1所示．
设点M的坐标为（x，x21），则MC=x21，
ME=|x|，EB=x2+1﹣2=|x2﹣1，
MB=，
=，
=，
=，
=x21．
MB=MC．
（4）相切，理由如下：
过点N作NDx轴于D，取MN的中点为P，过点P作PFx轴于点F，过点N作NHMC于点H，交PF于点Q，如图2所示．
由（3）知NB=ND，
MN=NB+MB=ND+MC．
点P为MN的中点，PQMH，
PQ=MH．
ND∥HC，NHDC，且四个角均为直角，
四边形NDCH为矩形，
QF=ND，
PF=PQ+QF=MH+ND=（NDMH+HC）=（NDMC）=MN．
以MN为直径的圆与x轴相切．
9．如图，已知抛物线y=ax2x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使PBC的面积最大．若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y=ax2x+4的对称轴是直线x=3，
﹣=3，解得：a=﹣，
抛物线的解析式为y=﹣x2x+4．
当y=0时，﹣x2x+4=0，
解得：x1=﹣2，x2=8，
点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x=0时，y=﹣x2x+4=4，
点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kxb（k0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y=kxb，
，解得：，
直线BC的解析式为y=﹣x4．
假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2x+4），过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x4），如图所示．
PD=﹣x2x+4﹣（﹣x4）=﹣x22x，
S△PBC=PD?OB=×8?（﹣x22x）=﹣x28x=﹣（x﹣4）216．
﹣10，
当x=4时，PBC的面积最大，最大面积是16．
0＜x＜8，
存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16．
（3）设点M的坐标为（m，﹣m2m+4），则点N的坐标为（m，﹣m4），
MN=|﹣m2m+4﹣（﹣m4）=|﹣m22m|．
又MN=3，
﹣m22m|=3．
当0m＜8时，有﹣m22m﹣3=0，
解得：m1=2，m2=6，
点P的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m0或m8时，有﹣m22m+3=0，
解得：m3=4﹣2，m4=42，
点P的坐标为（4﹣2，﹣1）或（42，﹣﹣1）．
综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（42，﹣﹣1）．
10．已知：如图，抛物线y=ax2bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x2）=﹣x22x+6；
（2）如图1，过点P作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM于点G，
设直线AB解析式为y=kxb，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x6，
设P（t，﹣t22t+6）其中0t＜6，
则N（t，﹣t6），
PN=PM﹣MN=﹣t22t+6﹣（﹣t6）=﹣t22t+6+t﹣6=﹣t23t，
S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN?AG+PN?BM
=PN?（AGBM）
=PN?OB
=（﹣t23t）6
=﹣t29t
=﹣（t﹣3）2，
当t=3时，PAB的面积有最大值；
（3）如图2，
PH⊥OB于H，
DHB=∠AOB=90°，
DH∥AO，
OA=OB=6，
BDH=∠BAO=45°，
PE∥x轴、PDx轴，
DPE=90°，
若PDE为等腰直角三角形，
则PD=PE，
设点P的横坐标为a，
PD=﹣a22a+6﹣（﹣a6）=﹣a23a，PE=22﹣a，
﹣a23a=2|2﹣a，
解得：a=4或a=5﹣，
所以P（4，6）或P（5﹣，3﹣5）．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，
点C的坐标为（0，﹣4）；
当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，
解得：x1=﹣2，x2=3，
点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
（2）设直线BC的解析式为y=kxb（k0），
将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kxb，
，解得：，
直线BC的解析式为y=x﹣4．
过点Q作QEy轴，交x轴于点E，如图1所示，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），
PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，
S△PBQ=PB?QE=﹣t22t=﹣（t﹣）2．
﹣0，
当t=时，PBQ的面积取最大值，最大值为．
（3）当PBQ面积最大时，t=，
此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．
假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），
MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m22m，
S△BMC=MF?OB=﹣m23m．
BMC的面积是PBQ面积的1.6倍，
﹣m23m=×1.6，即m2﹣3m2=0，
解得：m1=1，m2=2．
0＜m＜3，
在BC下方的抛物线上存在点M，使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．
12．综合与探究
如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
【解答】解：（1）当y=0，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，
A（﹣3，0），B（4，0），
当x=0，y=x﹣4=﹣4，
C（0，﹣4）；
（2）AC==5，
易得直线BC的解析式为y=x﹣4，
设Q（m，m﹣4）（0m＜4），
当CQ=CA时，m2（m﹣44）2=52，解得m1=，m2=﹣（舍去），此时Q点坐标为（，﹣4）；
当AQ=AC时，（m3）2（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）；
当QA=QC时，（m3）2（m﹣4）2=52，解得m=（舍去），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（，﹣4）或（1，﹣3）；
（3）解：过点F作FGPQ于点G，如图，
则FGx轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得OBC为等腰直角三角形
OBC=∠QFG=45
∴△FQG为等腰直角三角形，
FG=QG=FQ，
PE∥AC，PGCO，
FPG=∠ACO，
FGP=∠AOC=90°，
FGP～△AOC．
=，即=，
PG=FG=?FQ=FQ，
PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，
FQ=PQ，
设P（m，m2﹣m﹣4）（0m＜4），则Q（m，m﹣4），
PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2m，
FQ=（﹣m2m）=﹣（m﹣2）2
∵﹣0，
QF有最大值．
当m=2时，QF有最大值．
13．已知抛物线y=ax2bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0；当0x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且ABC有一个内角为60°．
求抛物线的解析式；
若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分MPN．
【解答】解：（1）抛物线y=ax2bx+c过点A（0，2），
c=2．
又点（﹣，0）也在该抛物线上，
a（﹣）2b（﹣）c=0，
2a﹣b2=0（a0）．
（2）当x1x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0，
x1﹣x20，y1﹣y20，
当x0时，y随x的增大而增大；
同理：当x0时，y随x的增大而减小，
抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
b=0．
OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，
ABC为等腰三角形，
又ABC有一个内角为60°，
ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且OCD=30°，
又OB=OC=OA=2，
CD=OC?cos30°=，OD=OC?sin30°=1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
点C在抛物线上，且c=2，b=0，
3a+2=﹣1，
a=﹣1，
抛物线的解析式为y=﹣x22．
证明：由可知，点M的坐标为（x1，﹣2），点N的坐标为（x2，﹣2）．
直线OM的解析式为y=k1x（k10）．
O、M、N三点共线，
x1≠0，x20，且=，
﹣x1=﹣x2，
x1﹣x2=﹣，
x1x2=﹣2，即x2=﹣，
点N的坐标为（﹣，﹣2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣2）．
点P是点O关于点A的对称点，
OP=2OA=4，
点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y=k2x4，
点M的坐标为（x1，﹣2），
﹣2=k2x1+4，
k2=﹣，
直线PM的解析式为y=﹣x4．
﹣?4==﹣2，
点N′在直线PM上，
PA平分MPN．
14．如图，已知抛物线y=ax2bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0t≤5）．
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当t=0时，求SOBN的值；
（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2bx，
，解得：，
抛物线的表达式为y=﹣x22x．
（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），
BN=，OB=1，
S△OBN=BN?OB=．
（3）当0t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t1，0），
点M的坐标为（t，﹣t22t），点N的坐标为（t1，﹣（t1）22（t1）），
AM=﹣t22t，BN=﹣（t1）22（t1），
S=（AMBN）?AB=1×[﹣t22t﹣（t1）22（t1），
=﹣t2t+，
=﹣（t﹣）2，
﹣0，
当t=4时，S取最大值，最大值为；
当4t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t1，0），
点M的坐标为（t，﹣t22t），点N的坐标为（t1，﹣（t1）22（t1）），
AM=﹣t22t，BN=﹣（t1）22（t1），
S=（5﹣t）（﹣t22t+5）（t﹣4）5﹣（t1）22（t1），
=（t3﹣3t25t+25）（﹣t3t2+t﹣），
=﹣t2t﹣，
=﹣（t﹣）2，
﹣0，
当t=时，S取最大值，最大值为．
=＜，
当t=时，S有最大值，最大值是．
15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x1）（x﹣4），
将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，
解得：a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x1）（x﹣4）=﹣x2x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），
设直线BD解析式为y=kxb，
将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，
解得：，
直线BD解析式为y=x﹣2，
QM⊥x轴，P（m，0），
Q（m，﹣m2m+2）、M（m，m﹣2），
则QM=﹣m2m+2﹣（m﹣2）=﹣m2m+4，
F（0，）、D（0，﹣2），
DF=，
QM∥DF，
当﹣m2m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=﹣1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
QM∥DF，
ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
当DOB=∠MBQ=90°时，DOB∽△MBQ，
则===，
MBQ=90°，
MBP+∠PBQ=90°，
MPB=∠BPQ=90°，
MBP+∠BMP=90°，
BMP=∠PBQ，
MBQ∽△BPQ，
=，即=，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
m=3，点Q的坐标为（3，2）；
当BQM=90°时，此时点Q与点A重合，BOD∽△BQM′，
此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似．
16．如图，抛物线y=ax2﹣5axc与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AMAN的最小值．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5axc得，解得，
抛物线解析式为y=﹣x2x+4；
AC=BC，COAB，
OB=OA=3，
B（3，0），
BD⊥x轴交抛物线于点D，
D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣9+×3+4=5，
D点坐标为（3，5）；
（2）在RtOBC中，BC===5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m1，
MCN=∠OCB，
当=时，CMN∽△COB，则CMN=∠COB=90°，即=，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当=时，CMN∽△CBO，则CNM=∠COB=90°，即=，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
AC=BC，COAB，
OC平分ACB，
ACO=∠BCO，
BD∥OC，
BCO=∠DBC，
DB=BC=AC=5，CM=BN，
ACM≌△DBN，
AM=DN，
AM+AN=DN+AN，
而DNAN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
DN+AN的最小值==，
AM+AN的最小值为．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2bx+3，得：
，解得：，
抛物线的表达式为y=﹣x22x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，
此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．
设直线PQ的表达式为y=mxn，
将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y=mxn，得：
，解得：，
直线PQ的表达式为y=﹣x．
如图，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x22x+3），则点E的坐标为（x，﹣x），
DE=﹣x22x+3﹣（﹣x）=﹣x23x+，
S△DPQ=DE?（xQ﹣xP）=﹣2x26x+=﹣2（x﹣）28．
﹣20，
当x=时，DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4t，
点P的坐标为（t，﹣t22t+3），点Q的坐标为（4t，﹣（4t）22（4t）3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=﹣2（t1）xt2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x22x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t1）xt2+4t+3），
DE=﹣x22x+3﹣﹣2（t1）xt2+4t+3]=﹣x22（t2）x﹣t2﹣4t，
S△DPQ=DE?（xQ﹣xP）=﹣2x24（t2）x﹣2t2﹣8t=﹣2x﹣（t2）2+8．
﹣20，
当x=t2时，DPQ的面积取最大值，最大值为8．
假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PAPB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2．
该抛物线经过点（4，1），
1=4a，解得：a=，
抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PAPB取得最小值（如图1所示）．
点B（4，1），直线l为y=﹣1，
点B′的坐标为（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y=kxb（k0），
将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kxb，得：
，解得：，
直线AB′的解析式为y=﹣x，
当y=﹣1时，有﹣x=﹣1，
解得：x=，
点P的坐标为（，﹣1）．
（3）点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
（m﹣x0）2（n﹣y0）2=（n1）2，
m2﹣2x0mx02﹣2y0ny02=2n+1．
M（m，n）为抛物线上一动点，
n=m2﹣m1，
m2﹣2x0mx02﹣2y0（m2﹣m1）y02=2（m2﹣m1）1，
整理得：（1﹣﹣y0）m2（2﹣2x02y0）mx02+y02﹣2y0﹣3=0．
m为任意值，
，
，
定点F的坐标为（2，1）．
19．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当AOP=45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当AHP=45°时，求抛物线的解析式．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线y=x2mx﹣2m经过点A（1，0），
0=1+m﹣2m，
解得：m=1，
抛物线解析式为y=x2x﹣2，
y=x2+x﹣2=（x）2﹣，
顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
（Ⅱ）抛物线y=x2mx﹣2m的顶点P的坐标为（﹣，﹣），
由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，AOP=45°知点P在第四象限，
如图1，过点P作PQx轴于点Q，
则POQ=∠OPQ=45°，
可知PQ=OQ，即=﹣，
解得：m1=0，m2=﹣10，
当m=0时，点P不在第四象限，舍去；
m=﹣10，
抛物线的解析式为y=x2﹣10x20；
（Ⅲ）由y=x2mx﹣2m=x2m（x﹣2）可知当x=2时，无论m取何值时y都等于4，
点H的坐标为（2，4），
过点A作ADAH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，
则DEA=∠AGH=90°，
DAH=90°，AHD=45°，
ADH=45°，
AH=AD，
DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，
DAE=∠AHG，
ADE≌△HAG，
DE=AG=1、AE=HG=4，
则点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1）；
当点D的坐标为（﹣3，1）时，可得直线DH的解析式为y=x，
点P（﹣，﹣）在直线y=x上，
﹣=（﹣），
解得：m1=﹣4、m2=﹣，
当m=﹣4时，点P与点H重合，不符合题意，
m=﹣；
当点D的坐标为（5，﹣1）时，可得直线DH的解析式为y=﹣x，
点P（﹣，﹣）在直线y=﹣x上，
﹣=﹣（﹣），
解得：m1=﹣4（舍），m2=﹣，
综上，m=﹣或m=﹣，
则抛物线的解析式为y=x2﹣x或y=x2﹣x．
20．如图所示，将二次函数y=x22x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2bx+c的图象．函数y=x22x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAMN，使AMN的面积为ABC面积的？若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）y=x22x+1=（x1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x1）2．
把y=﹣（x1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x24，
所求的函数y=ax2bx+c的解析式为y=﹣x24；
（2）y=x2+2x+1=（x1）2，
A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x24=0，解得x=2，则D（﹣2，0），C（2，0）；
当x=0时，y=﹣x24=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：ACB，ADB，CDB，
AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，
BCD为等腰三角形，
构造的三角形是等腰三角形的概率=；
（3）存在．
易得BC的解析是为y=﹣2x4，SABC=AC?OB=×3×4=6，
M点的坐标为（m，﹣2m4）（0m≤2），
当N点在AC上，如图1，
AMN的面积为ABC面积的，
（m1）（﹣2m4）=2，解得m1=0，m2=1，
当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，
tan∠MAC===4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，
tan∠MAC===1；
当N点在BC上，如图2，
BC==2，
BC?AN=AC?BC，解得AN==，
S△AMN=AN?MN=2，
MN==，
MAC===；
当N点在AB上，如图3，作AHBC于H，设AN=t，则BN=﹣t，
由得AH=，则BH==，
NBG=∠HBA，
BNM∽△BHA，
=，即=，
MN=，
AN?MN=2，
即?（﹣t）?=2，
整理得3t2﹣3t14=0，=（﹣3）2﹣43×14=﹣150，方程没有实数解，
点N在AB上不符合条件，
综上所述，tanMAN的值为1或4或．
21．如图，已知抛物线y=ax2bx+c（a0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，
把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，
直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，
直线AM解析式为y=xm，
把A（3，0）代入得：1m=0，即m=﹣1，
直线AM解析式为y=x﹣1，
联立得：，
解得：，
则M（﹣，﹣）；
（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分三种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1x=0+m，00=﹣3m2﹣2m﹣3，
解得：m=1，x=2，
当m=1时，m2﹣2m﹣3=82﹣2﹣2﹣3=3，即P（1，2）；
当m=1﹣时，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣22﹣3=3，即P（1﹣，2）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1m=0+x，0m2﹣2m﹣3=﹣30，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），
当四边形BQCP是平行四边形时，
由平移规律得：﹣10=m+x，0﹣3=m2﹣2m﹣3，
解得：m=0或2，x=﹣1或﹣3，
当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．
22．已知顶点为A抛物线经过点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若OPM=∠MAF，求POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【解答】解：（1）把点代入，
解得：a=1，
抛物线的解析式为：；
（2）由知A（，﹣2），
设直线AB解析式为：y=kxb，代入点A，B的坐标，
得：，
解得：，
直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣1，
易求E（0，1），，，
若OPM=∠MAF，
OP∥AF，
OPE∽△FAE，
，
，
设点P（t，﹣2t﹣1），则：
解得，，
由对称性知；当时，也满足OPM=∠MAF，
，都满足条件，
POE的面积=，
POE的面积为或．
（3）若点Q在AB上运动，如图1，
设Q（a，﹣2a﹣1），则NE=﹣a、QN=﹣2a，
由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a，
由QN′E=∠N=90°易知QRN′∽△N′SE，
==，即===2，
QR=2、ES=，
由NEES=NS=QR可得﹣a=2，
解得：a=﹣，
Q（﹣，）；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，
QR=、SE=﹣a，
在RtSEN′中，（﹣a）212=a2，
解得：a=，
Q（﹣，2）；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，
QR=、SE=﹣a，
在RtSEN′中，（﹣a）212=a2，
解得：a=，
Q（，2）．
综上，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，2）或（，2）．
23．已知抛物线y=ax2bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0；当0x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，ABC有一个内角为60°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1y2，解决以下问题：
求证：BC平分MBN；
求MBC外心的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线过点A（0，2），
c=2，
当x1x2＜0时，x1﹣x20，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）0，得到y1﹣y20，
当x0时，y随x的增大而增大，
同理当x0时，y随x的增大而减小，
抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0，
以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图1所示，
ABC为等腰三角形，
ABC中有一个角为60°，
ABC为等边三角形，且OC=OA=2，
设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且OBD=30°，
BD=OB?cos30°=，OD=OB?sin30°=1，
B在C的左侧，
B的坐标为（﹣，﹣1），
B点在抛物线上，且c=2，b=0，
3a+2=﹣1，
解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x22；
（2）由（1）知，点M（x1，﹣x122），N（x2，﹣x222），
MN与直线y=﹣2x平行，
设直线MN的解析式为y=﹣2xm，则有﹣x122=﹣2x1m，即m=﹣x122x1+2，
直线MN解析式为y=﹣2x﹣x122x1+2，
把y=﹣2x﹣x122x1+2代入y=﹣x22，解得：x=x1或x=2﹣x1，
x2=2﹣x1，即y2=﹣（2﹣x1）22=﹣x124x1﹣10，
作MEBC，NFBC，垂足为E，F，如图2所示，
M，N位于直线BC的两侧，且y1y2，则y2﹣1y1≤2，且﹣x1＜x2，
ME=y1﹣（﹣1）=﹣x123，BE=x1﹣（﹣）=x1，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x19，BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1，
在RtBEM中，tanMBE===﹣x1，
在RtBFN中，tanNBF=====﹣x1，
tan∠MBE=tan∠NBF，
MBE=∠NBF，
则BC平分MBN；
y轴为BC的垂直平分线，
设MBC的外心为P（0，y0），则PB=PM，即PB2=PM2，
根据勾股定理得：3（y01）2=x12（y0﹣y1）2，
x12=2﹣y1，
y02+2y0+4=（2﹣y1）（y0﹣y1）2，即y0=y1﹣1，
由得：﹣1y1≤2，
﹣y0≤0，
则MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣y0≤0．
24．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q．过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，
抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y=x，
设直线AB的解析式为y=kxb，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
直线AB的解析式为y=2x﹣12，
MN∥AB，
设直线MN的解析式为y=2xn，
把M（t，0）代入得2tn=0，解得n=﹣2t，
直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组得，则N（t，t），
S△AMN=S△AOM﹣SNOM
=?4?t﹣?t?t
=﹣t22t
=﹣（t﹣3）23，
当t=3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
OPQ=∠ACO，
当=时，PQO∽△COA，即=，
PQ=2PO，即m2﹣m=2|m|，
解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
当=时，PQO∽△CAO，即=，
PQ=PO，即m2﹣m=|m|，
解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
25．如图，抛物线y=ax2bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
当x1，y0时，求BDF的面积的最大值；
当AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2bx+c，
，解得：，
抛物线的解析式为y=﹣x22x+3．
y=﹣x22x+3=﹣（x﹣1）24，
顶点D的坐标为（1，4）．
（2）过点F作FMy轴，交BD于点M，如图1所示．
设直线BD的解析式为y=mxn（m0），
将（3，0）、（1，4）代入y=mxn，
，解得：，
直线BD的解析式为y=﹣2x6．
点F的坐标为（x，﹣x22x+3），
点M的坐标为（x，﹣2x6），
FM=﹣x22x+3﹣（﹣2x6）=﹣x24x﹣3，
S△BDF=FM?（yB﹣yD）=﹣x24x﹣3=﹣（x﹣2）21．
﹣10，
当x=2时，SBDF取最大值，最大值为1．
过点E作ENBD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．
EF1∥BD，
AEF1=∠DBE．
ON=ON′，EONN′，
AEF2=∠AEF1=∠DBE．
E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），
点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y=﹣2xb1，
将E（1，0）代入y=﹣2xb1，
﹣2b1=0，解得：b1=2，
直线EF1的解析式为y=﹣2x2．
联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．
当x=0时，y=﹣2x2=2，
点N的坐标为（0，2），
点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．
综上所述：当AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．
26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PEy轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=3，
A（0，3）即OA=3，
OA=OC，
OC=3，
C（3，0），
抛物线y=ax2bx+3经过点B（﹣1，0），C（3，0）
，
解得：，
抛物线的解析式为：y=﹣x22x+3；
（2）如图1，延长PE交x轴于点H，
y=﹣x22x+3=﹣（x﹣1）24，
D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kxb，
将点C（3，0）、D（1，4）代入，得：
，
解得：，
y=﹣2x6，
E（t，﹣2t6），P（t，﹣t22t+3），
PH=﹣t22t+3，EH=﹣2t6，
d=PH﹣EH=﹣t22t+3﹣（﹣2t6）=﹣t24t﹣3；
（3）如图2，作DKOC于点K，作QMx轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ERDK于点R，记QE与DK的交点为N，
D（1，4），B（﹣1，0），C（3，0），
BK=2，KC=2，
DK垂直平分BC，
BD=CD，
BDK=∠CDK，
BQE=∠QDE+∠DEQ，BQE+∠DEQ=90°，
QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2CDK+2∠DEQ=90°，
CDK+∠DEQ=45°，即RNE=45°，
ER⊥DK，
NER=45°，
MEQ=∠MQE=45°，
QM=ME，
DQ=CE，DTQ=∠EHC、QDT=∠CEH，
DQT≌△ECH，
DT=EH，QT=CH，
ME=4﹣2（﹣2t6），
QM=MTQT=MT+CH=t﹣1（3﹣t），
4﹣2（﹣2t6）=t﹣1（3﹣t），
解得：t=，
P（，）．
27．已知抛物线F：y=x2bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）如图1，直线l：y=xm（m0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．
判断AA′B的形状，并说明理由；
平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y=x2bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），
，解得：，
抛物线F的解析式为y=x2x．
（2）将y=xm代入y=x2x，得：x2=m，
解得：x1=﹣，x2=，
y1=﹣m，y2=m，
y2﹣y1=（m）﹣（﹣m）=（m0）．
（3）m=，
点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，2）．
点A′是点A关于原点O的对称点，
点A′的坐标为（，﹣）．
AA′B为等边三角形，理由如下：
A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），
AA′=，AB=，A′B=，
AA′=AB=A′B，
AA′B为等边三角形．
AA′B为等边三角形，
存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
点P的坐标为（2，）；
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
点P的坐标为（﹣，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
点P的坐标为（﹣，﹣2）．
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．
28．已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．
【解答】解：（1）过点A作AFx轴，过点B作BFCD于H，交AF于点F，过点C作CEAF于点E
设AC=n，则CD=n
点B坐标为（0，﹣1）
CH=n+1，AF=m1
∵CH∥AF，BC=2AC
即：
整理得：
n=
RtAEC中，
CE2AE2=AC2
∴5+（m﹣n）2=n2
把n=代入
5（m﹣）2=（）2
解得m1=5，m2=﹣3（舍去）
n=3
∴把A（3，5）代入y=kx﹣1得
k=
y=x﹣1
（2）如图，过点A作AECD于点E
设点P坐标为（2，n），由已知n0
由已知，PDx轴
PQD∽△APE
∴
∴
解得n1=7，n2=﹣2（舍去）
设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2k
∴y=a（x﹣2）27
把A（3，5）代入y=a（x﹣2）27
解得a=﹣
抛物线解析式为：y=﹣
29．如图，已知抛物线y=ax2bx（a0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线ACx轴，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得SAOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（，﹣3）和点B（3，0）代入抛物线得：，
解得：a=，b=﹣，
则抛物线解析式为y=x2﹣x；
（2）当P在直线AD上方时，
设P坐标为（x，x2﹣x），则有AD=x﹣，PD=x2﹣x3，
当OCA∽△ADP时，=，即=，
整理得：3x2﹣9x18=2x﹣6，即3x2﹣11x24=0，
解得：x=，即x=或x=（舍去）
此时P（，﹣）；
当OCA∽△PDA时，=，即=，
整理得：x2﹣9x6=6x﹣6，即x2﹣5x12=0，
解得：x=，即x=4或（舍去），
此时P（4，6）；
当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为（0，0）或（，﹣），
综上，P的坐标为（，﹣）或（4，6）（0，0）或（，﹣）；
（3）在RtAOC中，OC=3，AC=，
根据勾股定理得：OA=2，
OC?AC=OA?h，
h=，
S△AOC=S△AOQ=，
AOQ边OA上的高为，
过O作OMOA，截取OM=，过M作MNOA，交y轴于点N，如图所示：
在RtOMN中，ON=2OM=9，即N（0，9），
过M作MHx轴，
在RtOMH中，MH=OM=，OH=OM=，即M（，），
设直线MN解析式为y=kx9，
把M坐标代入得：=k9，即k=﹣，即y=﹣x9，
联立得：，
解得：或，即Q（3，0）或（﹣2，15），
则抛物线上存在点Q，使得SAOC=S△AOQ，此时点Q的坐标为（3，0）或（﹣2，15）．
30．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2axc（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点A的坐标为（﹣1，0），
OA=1，
OC=3OA，
点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2axc，得：
，
解得：，
抛物线C1的解析式为y=﹣x22x+3=﹣（x﹣1）24，
所以点G的坐标为（1，4）．
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x22x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）24﹣k，
过点G′作G′Dx轴于点D，设BD′=m，
A′B′G′为等边三角形，
G′D=B′D=m，
则点B′的坐标为（m1，0），点G′的坐标为（1，m），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）24﹣k，得：
，
解得：（舍），，
k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x22x+3）、Q（x，﹣x22x+2），
PQ=OA=1，
AOQ、PQN均为钝角，
AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，
则QHN=∠OMQ=90°，
又AOQ≌△PQN，
OQ=QN，AOQ=∠PQN，
MOQ=∠HQN，
OQM≌△QNH（AAS），
OM=QH，即x=﹣x22x+2+1，
解得：x=（负值舍去），
当x=时，HN=QM=﹣x22x+2=，点M（，0），
点N坐标为（，﹣1），即（，﹣1）；
或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，
同理可得OQM≌△PNH，
OM=PH，即x=﹣（﹣x22x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x22x+2）=6，
点N的坐标为（46，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；
M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
31．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：，
解得：，即二次函数解析式为y=﹣x2x+2，
联立一次函数解析式得：，
消去y得：﹣x2=﹣x2x+2，
解得：x=0或x=3，
则E（3，1）；
（2）如图，过M作MHy轴，交CE于点H，
设M（m，﹣m2m+2），则H（m，﹣m2），
MH=（﹣m2m+2）﹣（﹣m2）=﹣m22m，
S四边形COEM=SOCE+S△CME=×2×3+MH?3=﹣m23m+3，
当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；
（3）连接BF，如图所示，
当﹣x2x+20=0时，x1=，x2=，
OA=，OB=，
ACO=∠ABF，AOC=∠FOB，
AOC∽△FOB，
=，即=，
解得：OF=，
则F坐标为（0，﹣）．
32．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2b（a0）与x轴交于A，B两点，直线y=xm过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2b（a0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y=xm，
可得：m=﹣3；
（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2b中，
可得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
若M在B上方，设MC交x轴于点D，则ODC=45°+15°=60°，
OD=OC?tan30°=，
设DC为y=kx﹣3，代入（，0），可得：k=，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M1（3，6）；
若M在B下方，设MC交x轴于点E，则OEC=45°﹣15°=30°，
OE=OC?tan60°=3，
设EC为y=kx﹣3，代入（3，0）可得：k=，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M2（，﹣2），
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax22x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
﹣2a=2，解得a=﹣1，
抛物线解析式为y=﹣x22x+3；
当x=0时，y=﹣x22x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=pxq，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
直线AC的解析式为y=3x3；
（2）y=﹣x22x+3=﹣（x﹣1）24，
顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
MB=MB′，
MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MBMD的值最小，
而BD的值不变，
此时BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x3，
当x=0时，y=x3=3，
点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
直线AC的解析式为y=3x3，
直线PC的解析式可设为y=﹣xb，
把C（0，3）代入得b=3，
直线PC的解析式为y=﹣x3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣xb，
把A（﹣1，0）代入得b=0，解得b=﹣，
直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
34．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
求证：PDQ=90°；
求PDQ面积的最小值．
【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x01、y00），
则y0=（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CFx轴，
BOD=∠DFC=90°、DCF+∠CDF=90°，
BDC=90°，
BDO+∠CDF=90°，
BDO=∠DCF，
BDO∽△DCF，
=，
==，
解得：x0=17，此时y0=64，
点C的坐标为（17，64）．
（3）证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x11＜x2，y10，y20），
由，得：x2﹣（4k2）x4k﹣15=0，
，
（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=x1﹣1=1﹣x1、DN=x2﹣1=x2﹣1，
PM?QN=DM?DN=16，
=，
又PMD=∠DNQ=90°，
PMD∽△DNQ，
MPD=∠NDQ，
而MPD+∠MDP=90°，
MDP+∠NDQ=90°，即PDQ=90°；
过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
S△PDQ=DG?MN=×4×|x1﹣x2=2=8，
当k=0时，SPDQ取得最小值16．
35．抛物线y=﹣x2x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
（1）点A，B，D的坐标分别为（，0），（3，0），（，）；
（2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当y=0时，有﹣x2x﹣1=0，
解得：x1=，x2=3，
点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．
y=﹣x2x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2，
点D的坐标为（，）．
故答案为：（，0）；（3，0）；（，）．
（2）点E、点D关于直线y=t对称，
点E的坐标为（，2t﹣）．
当x=0时，y=﹣x2x﹣1=﹣1，
点C的坐标为（0，﹣1）．
设线段BC所在直线的解析式为y=kxb，
将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kxb，
，解得：，
线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．
点E在ABC内（含边界），
，
解得：t≤．
（3）当x或x3时，y=﹣x2x﹣1；
当x≤3时，y=x2﹣x1．
假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．
当m或m3时，点Q的坐标为（m，﹣x2x﹣1）（如图1），
以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
CP⊥PQ，
CQ2=CP2+PQ2，即m2（﹣m2m）2=m21+m2+（﹣m2m﹣1）2，
整理，得：m1=，m2=，
点P的坐标为（，0）或（，0）；
当m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x1）（如图2），
以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
CP⊥PQ，
CQ2=CP2+PQ2，即m2（m2﹣m2）2=m21+m2+（m2﹣m1）2，
整理，得：11m2﹣28m12=0，
解得：m3=，m4=2，
点P的坐标为（，0）或（1，0）．
综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．
36．如图，抛物线y=ax24x+c（a0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．
当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和ABF的面积；
当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．
【解答】解：（1）将A，E点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式是y=﹣x24x+5，
（2）设AE的解析式为y=kxb，将A，E点坐标代入，得
，
解得，
AE的解析式为y=x1，
x=0时，y=1即C（0，1），
设F点坐标为（n，n1），
由旋转的性质得，OF=OB=5，
n2（n1）2=25，解得n1=﹣4，n2=3，
F（﹣4，﹣3），F（3，4），
当F（﹣4，﹣3）时如图1，
SABF=S△BCF﹣SABC=BC?|xF|﹣BC?xA|=BC?（xA﹣xF）
SABF=×4（﹣14）=6；
当F（3，4）时，如图2，
SABF=S△BCF+S△ABC=BC?|xF|+BC?|xA|=BC?（xF﹣xA）
SABF=×4（31）=8；
（3）如图3，
HCG=∠ACO，HGC=∠COA，
HGC∽△COA，
OA=OC=1，CG=HG=，
由勾股定理，得
HC==2，
直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，
l的解析是为y=x3，l1的解析是为y=x﹣1，
联立解得x1=，x2=，
，解得x3=，x4=，
F点的坐标为（，），（，），（，），（，）．
37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若AOD与BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）y=（x﹣a）（x﹣3）（0a＜3），
A（a，0），B（3，0）．
当x=0时，y=3a，
D（0，3a）；
（2）A（a，0），B（3，0），
对称轴直线方程为：x=．
当x=时，y=﹣（）2，
C（，﹣（）2），
PB=3﹣，PC=（）2，
若AOD∽△BPC时，则=，即=，
解得a=3（舍去）；
若AOD∽△CPB时，则=，即=，
解得a=3（舍去）或a=．
所以a的值是．
（3）能．理由如下：
联结BD，取中点M
D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．
若点C也在圆上，则MC=MB．即（﹣）2（a（）2）2=（﹣3）2（a﹣0）2，
整理，得
a4﹣14a245=0，
所以（a2﹣5）（a2﹣9）=0，
解得a1=，a2=﹣（舍），a3=3（舍），a4=﹣3（舍），
a=．
38．如图，抛物线y=ax2bx+c（a0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1x2），当时，求k的值；
（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当SPOQ：SBOQ=1：2时，求出点P的坐标．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）
【解答】解：（1）根据题意得，，
，
抛物线解析式为y=x2x；
（2）直线y=kx4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2，
x2+x=kx+4，
x2﹣4（k﹣1）x﹣16=0，
根据根与系数的关系得，x1x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，
，
2（x1﹣x2）=x1x2，
4（x1﹣x2）2=（x1x2）2，
4[（x1x2）2﹣4x1x2=（x1x2）2，
4[16（k﹣1）264]=162，
k=1；
（3）如图，取OB的中点C，
BC=OB，
B（4，8），
C（2，4），
PQ∥OB，
点O到PQ的距离等于点O到OB的距离，
S△POQ：SBOQ=1：2，
OB=2PQ，
PQ=BC，PQ∥OB，
四边形BCPQ是平行四边形，
PC∥AB，
抛物线的解析式为y=x2x②，
令y=0，
x2+x=0，
x=0或x=﹣4，
A（﹣4，0），
B（4，8），
直线AB解析式为y=x4，设直线PC的解析式为y=xm，
C（2，4），
直线PC的解析式为y=x2②，
联立解得，（舍）或，
P（﹣2，﹣22）．
39．如图，在平面直角坐标系中，ACB=90°，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．
求点P的坐标；
在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）B（1，0），
OB=1，
OC=2OB=2，
C（﹣2，0），
RtABC中，tanABC=2，
，
，
AC=6，
A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2bx+c得：，
解得：，
抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x4；
（2）A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x2，
设P（x，﹣x2﹣3x4），则E（x，﹣2x2），
PE=DE，
﹣x2﹣3x4﹣（﹣2x2）=（﹣2x2），
x=1（舍）或﹣1，
P（﹣1，6）；
M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
AM2=（﹣12）2（y﹣6）2=1（y﹣6）2，
BM2=（11）2y2=4+y2，
AB2=（12）262=45，
分三种情况：
i）当AMB=90°时，有AM2BM2=AB2，
1+（y﹣6）24+y2=45，
解得：y=3，
M（﹣1，3）或（﹣1，3﹣）；
ii）当ABM=90°时，有AB2BM2=AM2，
45+4+y2=1+（y﹣6）2，
y=﹣1，
M（﹣1，﹣1），
iii）当BAM=90°时，有AM2AB2=BM2，
1+（y﹣6）245=4+y2，
y=，
M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：M（﹣1，3）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
40．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2bx（a、b为常数，a0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NEx轴于点E．把MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把MOK绕点O顺时针旋转90°得到M′OK′，点F为直线l′上的动点．当M''FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．
【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）
把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2bx，得
解得
抛物线的解析式为：y=
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）
OC=，OB=5
当OBA∽△OCP时，
∴OP=
当OBA∽△OPC时，
∴OP=5
∴点P坐标为（5，0）或（，0）
（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=xc
∵直线l′y=xc与x轴夹角为45°
MEN为等腰直角三角形．
当把MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形
点E′坐标为（a﹣b，b）
EE′平行于x轴
E、E′关于抛物线对称轴对称
∴b=2a﹣3
则点N坐标可化为（a，2a﹣3）
把点N坐标带入y=
得：
2a﹣3=
解得
a1=1，a2=6
a=6时，b=2a﹣3=﹣9
由函数解析式可知函数最小值为﹣
﹣6
∴a=6舍去
则点N坐标为（1，﹣1）
把N坐标代入y=xc
则c=﹣2
直线l′的解析式为：y=x﹣2
（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）
则MOK为等腰直角三角形
M′OK′为等腰直角三角形，M′K′直线l′
当M′K′=M′F时，M''FK′为等腰直角三角形
F坐标为（2，0）或（﹣2，﹣4）
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