【原】数学学到这里才算真正入门！聚点的两个等价定义分析

聚点的定义是：点集中的一个定点，在它的任何邻域内都有点集的无穷多个点，就称这个定点是点集的一个聚点。它还有两个重要的等价定义，它们分别是：

等价定义1：对于点集S，若点ξ的任何ε邻域都含有S中异于ξ的点，即U⁰(ξ;ε)∩S≠Ø，则称ξ为S的一个聚点.

用老黄自己的话说就是：如果ξ的任何邻域上都含有S中异于ξ的点，即ξ的ε空心邻域与S的交集永远不是空集，就称ξ是S的一个聚点。换言之： U⁰(ξ;ε)中有S异于ξ的点，就有S的无穷多个点. 否则就会与聚点的原定义矛盾。

这是一件扯不清楚的事情。如果你说其中一个空心邻域只有S的有限多个点，那么怎么保证半径更小的空心邻域上，永远都有S的点呢？你还别说，还真有可能，假设有一个半径最小的空心邻域上，有S的一个异于克西的点，那么就能保证任意空心邻域上都有S中异于克西的点。当然，我们找不到半径最小的空心邻域。所以说这些都是扯皮的。

因此老黄宁愿相信，克西本身就可以表示S的无穷多个点。所以老黄说克西除了点的本质，还有区间的概念。那样的话，不论那些空心邻域有多少个S中异于克西的点，所有邻域中就都一定会有S的无穷多个点了。

等价定义2：若存在各项互异的收敛数列{xn}⊂S，则其极限lim(n→∞)xn=ξ称为S的一个聚点.

用老黄自己的话讲就是：如果S中存在各项互异的收敛数列，且数列以ξ为极限，那么ξ就是S的一个聚点。换言之，各项互异的数列极限就是聚点。老黄上一讲证明过极限就是聚点。似乎忘了强调各项互异这个条件了。

那么，存在相同的项的数列极限，真的就不是聚点吗？比如，数列中有两个相同的项，其实并不会有任何影响。哪怕有很多相同的项，只要是有限个， 就不会影响聚点的本质。但若是有无限个相同的项，甚至本身就是一个常数项呢？按教材的定义，ξ就不再是聚点了。这其实是聚点的定义所决定的。然而老黄对此保留质疑的态度。这大概是因为把常数列的极限当做聚点，无益于高等数学的继续深入探究吧。保留质疑，对我们接下来的探究，也是有益的。

假如我们可以把“数列极限就是相关点集的聚点”当做一个定理，那样更符合科学探究的统一性追求。在很多地方的应用也会变得更加方便。如果每次判断数列有极限是否点集的聚点都要附加说明，该数列没有相同的项，或者特别说明，不是常数列，其实也是蛮麻烦的。特别是在有一个“端点数列”是常数列的区间套中，需要专门排除这种情况，是很不科学的。所以，老黄建议，人为规定“常数列的极限，也是一个聚点”。你觉得呢！