【精华】祖暅原理在高考数学中的重要拓展与应用

祖暅原理

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

纪老师更用一个形象生动的实验来为大家进行解释,如图:

这两堆等高的硬币,平行于底面的截面相等,则他们的体积也相等.同学们也通过这个例子很容易理解这个道理,自然解决这道题目不在话下。

我们以这道2013上海卷高考填空压轴题为例,主要以祖暅原理为背景,设计的一道极有难度的开放性命题。

再次，我们课本上介绍了如何利用祖暅原来来推导球的体积的公式，而16年杨浦区的二模考题与全国高考卷多次涉及了利用祖暅原理求椭球体的体积及双曲线与抛物线绕某直线旋转一周所得到的的几何体的体积。

祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图（1）是一个半径为R的半球体，图（2）是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．（圆柱和圆锥的底面半径和高均为R）

利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：

课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：

祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。

祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．