2022安顺中考数学压轴题分析4：动点产生直角三角形的存在性问题

本题设计比较巧妙，与以往函数的直角三角形存在性问题不太一样。其实本题更倾向于相似三角形的存在性问题。因为目标三角形有一个角是固定的。具体情况下面的内容，本题值得好好做一下。

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【题目】

（2022·安顺）如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．

（1）求线段AE的长；

（2）求证四边形DGFC为菱形；

（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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【分析】

（1）题（1）是学了勾股定理之后非常常见的题目之一：矩形+折叠。

先标出已知条件，在Rt△BCF中，根据勾股定理得到BF=6，进而得到AF=4，设AE=x，那么表示出DE=EF=8-x，在Rt△AEF中，根据勾股定理得到结论。

AF²+AE²=EF²，

4²+x²=(8-x)²，

解得x＝3。

则AE＝3。

（2）证明菱形则根据菱形的判定即可。有了（1）中的结论，其实不难得到（2）的结论。

根据AG∥CD，那么可以得到AE/DE=AG/CD，

进而得到AG=6，此时可以得到GF=AG+AF=10。

那么就可以得到四边形DGFC的一组对边平行且相等，说明它是平行四边形。再根据CD=CF得到邻边相等，那么就可以得到它是一个菱形了。

（3）因为已知∠DMN＝∠DCM，而且△DMN为直角三角形，所以可以得到△DMN与△CDE相似，而且情况只有2种，因为∠DMN不能为直角。

那么分类讨论求解即可。

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①如下图，当∠MDN=90°时，此时可以得到MD⊥ND，且MD=2ND。

因为DG=DC，所以∠DGC=∠DCG，DG=10，所以DM=5，那么就可以得到ND=2.5。

②如图，当∠MND=90°时，MN⊥ND，依然有MN=2ND。

那么可以得到NG=2MN，所以可以得到NG=4ND。

那么就可以得到ND=1/5DG=2。

结论就出来了。

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【总结】

本题虽然不难，但是设计比较巧妙，考查学生的基础知识与基本技能是否过关。

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