浅析机器人学位姿之单位四元数，一文彻底了解四元数，干货

对于机器人姿态的转换前面一直介绍欧拉角的方式，其实对于三维坐标的转换四元数法和欧拉角用得都比较多，在内部算法里四元数法占比例更大，欧拉角多用于原理讲解！

四元数是一个复数，下面就一步一步讲解下复数怎么和坐标系旋转勾搭上的!

四元数顾名思义对于旋转的变换只需要四个参数，而欧拉角的旋转矩阵则是3*3的矩阵，有9个元素，所以四元数法用来优化程序，好处显而易见！

在网上查了一些资料，对于四元数的讲解基本上没有让我满意的，可能是我水平不够或者思路跟不上！所以我打算自己总结一篇浅显易懂有不漏知识点的四元数浅析文章！

四元数是一个标量加一个向量，标量一个数，向量三个数！

首先四元数是一个复数，什么是复数？应该初中还是高中的数学肯定是学过的，估计大部分人都还给老师了！

复数

1、概述一下复数

任意一个复数z都可以表示为z=a+bi 的形式．我们将a称之为这个复数的实部，b称之为这个复数的虚部。 其中i的平方等于-1！怪不怪！我理解的复数的发明就是为了让它的虚部也能参与运算，因为数学里有的地方会出现i平方等于-1的情况，如果没发明复数，那么就无法完成计算!

复数的模长|z|;

模长

它的共（轭）是z1=a-bi；

z*z1=a*a+b*b也就是模长的平方；

加减乘除法则和正常运算一样，如z1=a+bi，z2=c+di；z1+z2=a+b+bi+di; z1*z2=ac+adi+bci+bdi^2;

复数参与运算主要靠上面这几个关系互相转换，算到最后可以把虚数算没了，就像个中间变量一样；兔死狗烹，鸟尽弓藏!

2、复数怎么和旋转矩阵勾搭上的？

推导

首先写z1=a+bi，z2=c+di两个复数；

z1*z2=ac+adi+bci+bdi^2

由于i平方等于-1；进而化简:

z1*z2=ac-bd+adi+bci；

再化简:

z1*z2=ac-bd+（ad+bc）*i；

写成矩阵形式

右侧的矩阵c d;就是用向量的形式表示z2；为啥呢？因为复数可以图像化表示，复数z=a+bi可以用如下图表示：

既然右侧的列矩阵c d 表示z2，那么复数z1就是左侧的二维矩阵表示的！进而可以推断出z2的二维矩阵形式；

最终得出，z1*z2就是两个二维矩阵相乘,如下图公式：

上面的式子里面i不见了，我们就是当i=1；或者让矩阵乘以一个二维矩阵，但是结果不变，那么这个矩阵就是如下形式，得出i的二维矩阵形式，后面会用到这个i矩阵：

以上这些公式就可以和旋转矩阵眉目传情有点关系了；下面继续推导，把复数z1的矩阵形式再变换一下，就彻底勾搭上了，如下：

配合下面这个图看一下，就知道为啥彻底勾搭上了：

这不就是三角函数吗！

那么上面的公式就可以写成三角函数的形式了，加上求模的公式，再加上上面得出的i二维矩阵，最终可以把公式写成如下形式：

右边的矩阵就是二维里面的旋转矩阵了；

左边的其实就是缩放矩阵；

验证

实验一下我们将一个点坐标 （1，0），旋转θ角度，带入上面这个公式，最终得到如下；

就是对点（1，0）逆时针旋转了θ角度，然后再缩放|z|倍；同理代入点（1，0）也是一样的原理，如下图显示两个点的旋转图;

如果复数的模为1，那么就只剩旋转矩阵了！

总结一下：

如果（模）等于1，复数z可以写成如下矩阵形式：

写成复数形式就是：

Z=cosθ+sinθ*i；

对比下 ：

Z=a+b*i；

如此，复数和旋转矩阵的关系大家应该知晓了！

数学真好玩，把两个不相关的东西硬是紧密的勾搭到了一起，佩服！

单位四元数（模为1）

概述

四元数的定义和复数非常类似，唯一的区别就是四元数一共有三个虚部，而复数只有一个。

四元数q写成如下形式：

q=s+v1i+v2j+v3k;

根据复数的定义：i平方=j平方=k平方=ijk=-1；

使用的时候把虚部和实部分开，写成:

q=s+v;

标准里我们把四元数表示为：

q=s<v1,v2,v3>;

应用

单位四元数的复数形式怎么和3D旋转扯上关系，推理方法和上面复数推理2D旋转矩阵一样，就不详细讲了，下面我们直接使用它，用matlab写程序案例，直接到应用层次！

直接调用函数UnitQuaternion，下面的0.1、0.2、0.3表示绕x绕y绕z旋转；

>> q = UnitQuaternion( rpy2tr(0.1, 0.2, 0.3) )

q =

0.98335 < 0.034271, 0.10602, 0.14357 >

用q.R可以输出旋转矩阵：

>> q.R

ans =

0.7536 -0.4993 0.4275

0.5555 0.8315 -0.0081

-0.3514 0.2436 0.9040

输出图形如下：

>> q.plot()

以上就是四元数的简单介绍，第一部分主要让大家搞懂四元数怎么能表示旋转的，第二部分就是简单的应用了，可以看出应用非常简单，如果实际写应用程序，四元数法会简单明了，节省时间，也可以让程序更流畅！

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