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我们知道物体表面是占有一定的区域，而这个区域有大有小，通过度量后用一个数来表示它的大小，就称为该物体表面的面积。 物体的表面并非都是平面，而在小学数学中主要讨论平面图形的面积，即平面图形所覆盖物体表面的大小。 在“常见的量”中，谈到面积单位，是因测量需要不同而产生不同的面积单位。下面就用标椎面积单位“平方米”，去测量一个长方形操场的表面为例，加深对面积意义的理解。 所谓1平方米面积，就是指边长为1米的正方形面积。现在就要用许多边长为1米的正方形，去铺满这个长方形操场。假设铺成形状如下图：
可以算出一共铺了120×30=3600（个）正方形，即3600个1平方米，就是3600平方米。所以这个长方形操场的表面就包含3600个1平方米这样的测量单位，那么这个操场面积就是3600平方米。 通过对面积意义的理解可以知道，平面图形的面积就是测量该平面图形时，所需要的面积单位个数。如果每次求平面图形的面积，都这种方法去测量，既麻烦也不现实，就要去寻找更为简捷的方法。
仍以上面测量长方形操场的面积为例进行探究。如果不用面积单位去覆盖（测量），而是通过等分操场表面来计算等分出的面积单位个数，同样也能达到度量面积的目的。 首先度量出该操场的长与宽，长120米就把长等分120份，宽为30米也把宽等分30份，则该操场表面就被等分了120×30=3600（份）。而其中的一份就是1个面积单位，即1平方米，3600份就是3600平方米，所以该操场面积就是3600平方米。列出算式为： 120×30=3600（份） 3600×1=3600（平方米） 为了方便计算，人们通常省略第二个算式，直接用一个算式120×30=36（平方米）来求长方形的面积。
用这种方法去测量长方形的面积，在很大程度上减轻了测量的工作量。只要度量出长方形的长与宽，用长与宽相乘即可得到长方形的面积，即长方形面积=长×宽。用同样的方法也会得到正方形的面积计算方法，正方形面积=边长×边长或边长的平方。
并不是所有的平面图形通过等分其表面，就会得到若干个相同的面积单位。如平行四边形、三角形、梯形等，它们通过等分表面后，得到最小单位面积还是平行四边形、三角形、梯形等，仍无法计算，怎么办？ 通过对面积单位的学习已经知道，标准的面积单位是一个小正方形的形状，有四个直角“直来直去”。长方形与正方形的四个内角都是直角，是可以等分成若干个标准面积单位的。平行四边形、三角形、梯形等平面图形，存在有不是直角的内角，是不可能等分出若干个标准的面积单位。因此，在面积不变的情况下，想办法把它们转化成长方形，就是一个较好的选择。 底为a、高为h的平行四边形，利用割补的方法，就可以将其转化为长为a、宽为h的长方形。
沿着高h剪开的方法有很多，只要是在平行四边形内，底边a上的高都是可以的。显然，此时拼成的长方形面积与原平行四边形面积是相等的，则有平行四边形面积=长方形面积=ah，即平行四边形面积=ah（底×高）。所以，在度量平行四边形面积时，只要度量它的底边长度及该底边上对应高的长度，就可以计算出它的面积。 而三角形和梯形要转化成长方形有些复杂，但是两个完全相同的三角形或梯形是可以拼接成一个平行四边形的。因此，借助这种间接手段也可以推导出它们的计算公式。
最后，来研究圆的面积如何度量。 圆的面积与其直径或半径大小有直接的关系，这是显而易见的。但是从直径或半径的角度去研究圆的面积，确实困难不小。那么，就要想办法把圆转化为便于等分成标准面积单位的长方形，或转化为已知面积计算方法的三角形、平行四边形等平面图形。于是，分割圆的方法就成为研究的重点。
第一种就是把圆分割成若干个相同的三角形，随着圆内三角形个数的不断增加，所有三角形面积的和与圆的面积，也越来越接近。这就是我国魏晋时期的数学家刘徽，创造的割圆术求圆面积的方法。确实是一种好的思想方法，但计算有些复杂。 第二种就是把圆分割成若干个相同的扇形，随着等分圆的份数越来越多，拼接成的图形越来越接近长方形，所以长方形的面积与圆的面积是相等的。这就是印度创造求圆面积的方法，被称为印度圆方法。 拼成长方形的长是圆周长（c）的一半，宽正好是圆的半径（r）。则这个长方形的面积（s）就是圆周长一半乘圆的半径，即s=1/2 c·r。而c=2πr，所以有s=1/2·2πr·r=πr²，即圆的面积等于π乘半径的平方。 |
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