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大家还记得勾股定理是如何证明的吗？ 勾股定理至今约有400多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。下图是我国三国时期著名的数学家赵爽证明使用的弦图。   
 仔细分析勾股定理的证明过程，发现大多数勾股定理的证明都采用了同一种思想：用两种不同的方法表示同一个图形的面积。这种解决问题的方法我们称之为等积法。 等积法在数学学习中经常使用，无论是定理的证明、还是解答题的求解，等积法最大的好处是解决问题更加方便，计算量小，转化清晰。 如图所示的格点图中，每个小正方形的边长都是1，试求△ABC边AC上的高BD的长。
分析：此题的处理应该用割补法先求出△ABC的面积，然后利用面积公式求解BD的长，其实本质上就是一个等积法。
三角形一个角的平分线与其对边相交所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 写成几何语言：如下图所示，△ABC的角平分线AD交BC于点D，求证：
分析：这个定理现在课本上已经不讲解了，以前是在相似部分讲解的，用比例来证明，其实放在初二就可以用等积法来证明。
如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＋DF是一个定值。
分析：之前我们碰到这个问题都是从结论入手，结论给出两条线段的和是定值的做法指向截长补短，所以我们都是通过截长补短来解决，其实我们如果换一种思路，从垂直就是高的角度用面积法来处理非常巧妙，解答非常简洁。
一般来讲，我们要求解线段长，使用的方法就是勾股定理和相似。在初二大家的反应肯定是利用勾股定理求解，比如下面的这道折叠问题。 一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD
事实上如果我们把这些垂直当作三角形的高出现，我们可以将这个△ABC看作是△ACD和△ABD两部分的组合（或者看作△ACD、△ADE、△BDE三个的组合）。
 如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，求线段AE的长。
分析：这道题放在初二来讲是一道比较难的题目，很多同学都无从下手。我们冷静思考两个问题：①我们一般如何求线段的长？显然需要使用勾股定理；②这儿有包含AE的直角三角形吗？认真分析发现连接BE后△ABE是一个直角三角形；这样这道题就变成了在现有条件下如何求解线段BE的长的问题，考虑到BE被CD垂直平分（轴对称），我们可以想办法在△BCD中解决，此时的思路有两种，一种利用△BCD是等腰三角形进行转化（如下图2），将BH转化为CF求解（求CF在初二本质上仍然是等积法）；另一种直接计算面积，利用等积法构造方程求解。
反思：其实这个题将△ACD翻折也是可以做的，如下图，有兴趣的同学可以试试求一下BE的长。
如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是AD和BC的三等分点，现将这张纸片折叠，使点C落在EF上的点G处，折痕为BP．若PG的延长线恰好经过点A，则AD的长为 cm．
在初二处理这道题无法采取平行线分线段成比例来处理，所以我们只能采取等积法。
此题中点E，F是三等分点，如果E，F是四等分点或者中点，此题也能处理，大家可以思考一下试一试。 等积法的运用很多时候能够简化推理的过程，达到简便的目的。那么通过上面几道例题，你有没有发现什么时候可以选择等积法来处理问题呢？ 一般来讲如果在求解线段长的过程中涉及较多的垂直关系，并且线段存在面积联系，我们就可以思考用等积法来处理问题。 END |
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