高中数学 必修第一册 人教A版2.2 基本不等式1.掌握基本不等式?≤?(a,b>0).2.掌握基本不等式及其变形的应用,能熟练运用基本
不等式来比较两个实数的大 小.3.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,能够运用基本不等式解决生活中的 应用问题.两个重要不等
式1.已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,为⑤ 2?????.2.已知x,y是正数,如果和x+
y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,为⑥?????????.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.3.运用以上结论
求最值要注意下列三个条件:①一正:要求各数均为⑦ 正数????;②二定:要求和或积为⑧ 定值????;③三相等:要保证具备⑨ 等号
????成立的条件.基本不等式与最值? 设a>0,b>0,则有?≤?≤?≤?(当且仅当a=b时取等号).其中?为调和平均数,?为
几何平均数,?为算术平均数,?为平方平均数.基本不等式链1.当a,b同号时,?+?≥2.?( √ )2.函数y=x+?的最小值为2
.?(????? )3.6和8的几何平均数为2?.?(????? )4.当a,b,c∈R时,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.?
( √ )提示:∵2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,∴a2+b2+c2
≥ab+bc+ca.5.不等式a2+b2≥2ab与?≤?有相同的适用范围.?(????? )提示:不等式a2+b2≥2ab对任意实
数a,b都成立,而?≤?只有当a,b都是正数(特殊时可取0)时成立.6.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.
( √ )提示:因为m>0,n>0,所以?≤?,即m+n≥2?=18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小值为18.如何理解
基本不等式中等号成立的三个条件 某房地产开发公司计划在某楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为 长方形A1B1C1D1的
休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的 面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m(如图
所示).? 问题1.设休闲区的长和宽的比?=x(x>1),求公园ABCD所占面积y关于x的函数关系式.提示:y=80??+4 16
0(x>1).2.要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?提示:利用基本不等式求解.?利用基本不等式求最
值即“等号成立”的注意事项利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正,二定,三相等”.1.“一正”:各项必须都是正值
.例如:代数式x+?,当x<0时,绝不能认为x+?≥2,x+?的最小值为2.事实上,当x<0时,x+?=-?≤-2.当x=-1时,
取得最大值-2.2.“二定”:各项之和或各项之积为定值.例如:已知0 ·?,这时2x+(5-2x)=5为定值,且2x>0,5-2x>0.当2x=5-2x,即当x=?时,[(5-2x)x]max=?.3
.“三相等”:必须验证取等号时条件是否成立.在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立,那 么就可能得出
错误的结果.?? 若x>1,求函数y=x+?+?的最小值.思路点拨思路一:将?变形为?,然后把x+?看作一个整体进行求解.思路二
:当涉及分数时,通分是最容易想到的常规方法,通分后x+?=?,利用基本不等式即可求解.?? 已知a>b>0,求a2+?的最小值.
思路点拨如果要运用基本不等式解题,则需要对目标式进行变形,如何对含有两个字母但条 件缺乏的目标式进行变形呢?注意到和式中两项的次数
,一个是二次的,另一个是负 二次的,如此便向ax+?的结构方向发展,于是拆项是一个很好的选择. 已知x>0,y>0,且?+?=1
.问题1.怎样求x+y的最小值?提示:消元法或利用基本不等式.2.若将已知条件改为xy≠0,且?+?=1,试求x+y的最小值.提示
:先消元再利用基本不等式.如何利用基本不等式求解条件最值问题?利用基本不等式求解条件最值问题的常用方法应用基本不等式求最值的关键是
凑出“定和”或“定积”以及保证能取到等号, 因此往往采取以下方法技巧:1.常用构造定值条件的技巧变换:(1)加项变换;(2)拆项变
换;(3)统一变元;(4)平方后利用基本不等式.2.拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型函数的最值中,如: f(x)=?=?.3.
常值代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求?+?的最小值”和“已知?+?=1(a,b,x,y均为正
数),求x+y的最小值”两种类型.?? (1)已知a,b,x,y均为正数,且?+?=1,求x+y的最小值;(2)已知x>0,y>
0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.思路点拨问题(1)可以采用常值代换的方法,也可以进行变量代换,再利用基本不等式求解;问
题(2)既可以利用基本不等式求解,也可以采用变量代换的方法求解.解析????(1)解法一:x+y=(x+y)?=a+b+?+?≥
a+b+2?,当且仅当?即?时,等号成立.解法二:由?+?=1得x=?,∴x+y=?+y=?+y=a+?+y=?+(y-b)+a+
b.∵x>0,y>0,a>0,∴由?>0得y-b>0,∴x+y≥2?+a+b,当且仅当?即?时,等号成立.(2)解法一:由x+2y
+xy=30,可得y=?(0 ?,即x=6时,等号成立,代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值为18.解法二:∵x>0,y>0,∴x+2y≥2?=2
?·?(当且仅当x=2y时,等号成立),∴2?·?+xy≤x+2y+xy=30,解此不等式得0≤xy≤18,即xy的最大值为18,
此时?即??? 已知x,y,z为正数且满足x-2y+3z=0,求?的最小值.思路点拨由已知得y=? ?代入? ?构造出基本不等式?求最小值.解析????由x-2y+3z=0,得y=?.因为x,y,z为正数,所以?=?=?·?≥?·?=3,当且仅当x=3z时,等号成立. |
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