2011年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学
一、选择题（每小题2分，共60分）
1．.
【解析】：，应选.
2．.
【解析】：令，则，有，
所以，应选B.
3．，应选C.
5．，应选B.
6.答案：D.
【解析】：，应选D.
7．，应选B.
8．.
【解析】：，应选D.
9．.
【解析】：
取，得,应选A.
10．.
【解析】： 根据取得极值的第二充分条件知，是的极小值点11.答案：A.
【解析】：时，无意义，因此仅有水平渐近线12.答案：D.
【解析】：，是二个广义积分都发散，因此原积分发散，应选D.
13．.
【解析】：设函数，则，，方程有唯一实根，应选B.
14．.
【解析】：，则,应选A.
15．.
【解析】：,应选C.
16．.
【解析】：, 应选A.
17．.
【解析】： ，应选B.
18．.
【解析】： 根据微分方程通解的概念知，通解中一定含有两个任意常数，应选A.
19．.
【解析】：这是一阶线性微分方程，代入通解公式有通解为
，应选D.
20．.
【解析】： ，应选D.
21．.
【解析】：因为 ，应选C.
22．.
【解析】： 直线的方向向量与平面法向量相互垂直，则直线在平面内或直线平行于平面；而点（0,0,0）不在平面内，应有直线平行于平面，应选A.
23．.
【解析】：，应选C.
24．D.
【解析】： 偏导数都存在不一定连续，连续也不一定偏导数存在，应选D.25．.
【解析】：
，应选B.
26．，
应选C.
27．，则
,应选D.
28．.
【解析】： 根据二重积分的对称性可知，此积分值为零，应选B.
29．.
【解析】：A、B、D都可以举出反例，对于C,利用反证法，假设收敛，可得收敛，从而是收敛，矛盾，应选C.
30．C.
【解析】：令，化为级数级数在处收敛，问处是否收敛的问题，根据阿贝尔定理绝对收敛，应选C.二、填空题.
【解析】：.
32.答案：3.
【解析】：.
33.答案：.
【解析】：，所以切线方程为.
34. 答案：.
【解析】：.
35.答案：.
【解析】：为通解说明特征方程有两个相等实根-2，所以，故二阶常系数齐次线性微分方程为.
36.答案：.
【解析】：根据关于轴的对称点的特点知，所求对称点为（-1,2，-3）.
37.答案：.
【解析】：.
38.答案：.
【解析】：，
当时，，所以.
答案：.
【解析】：从点（1,2）到点（2,2+）方向向量为，单位化后为，
则.
40.答案：.
【解析】：，所以收敛区间为（-1,1）。
说明：教材不同给收敛区间定义不同，有些书中收敛区间就是开区间；有些书中收敛区间与收敛域是一致.此题，收敛域为.答案：提出的是.但本人认为填（-1,1）也应该正确。
三、计算题（每小题5分，共5分）
41．的值.
【解析】：因为----------2分
所以 ------3分
而 ---------------------------4分
由夹逼准则知，------5分
42．在处可导性.
【解析】：因为-----4分
所以函数在处可导，且-------5分
43．求．----2分
-------4分
-----------5分
44．求定积分．------------2分
------4分
-----5分
45．的通解
【解析】： 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的特征方程为，有两个特征根，从而对应的齐次方程通解为------3分，
设非齐次线性方程的一个特解为，代入原方程有
，解得------------------4分
故原方程的通解为，其中是两个任意常数。
-----5分
46．且具有二阶连续偏导数，求.
【解析】：因为且具有二阶连续偏导数，
所以 -------2分
从而------4分
------5分
47．在点处的切平面方程.
【解析】：构造函数，------1分
则------2分
所以，------3分
故曲面在点（2,1,0处法向量为.-------4分
所以所求的切平面为，即-----5分
48.求二重积分其中D是由直线和两条坐标轴所围城的闭区域。
【解析】：积分区域如图所示，看作X型有
，---2分
故---3分
.--5分
49．计算是从点到点的直线段.
【解析】：参数方程为从0变到1，------3分
所以-----5分
50.将函数展开成的幂级数.
【解析】：令，则，有------1分
而------2分
因为，-------3分
所以------4分
-----5分
应用题（每小题分，共1分）
上的点的距离的平方的最小值.
解法一：设点（0.1）到抛物线上的点的距离为，
则 ，------3分
令，得唯一可能的极值点，-----4分
而，故就是使取得极小值的点，即为最小值点，----5分
最小值为--------6分
解法二：设点（0.1）到抛物线上的点的距离为，
则 ，------1分
构造函数-----2分
令 ，--------4分
得可能最小值点或或-------5分
由于
所以点（0，1）到抛物线上的点的距离的平方的最小值为.-----6分
52.求几何体的体积.
解法一：易知几何体是由平面图形绕轴旋转所得的几何体，-------2分
由方程可知，，看作Z型图形绕旋转，-----3分
则有所求几何体的体积为
。-----6分
解法二： 易见几何体被平面所截而得的截面是一个半径为的圆面，其面积为=， --------3分
因此几何体的体积为------6分
解法三：令，则几何体可看作以为底，以为曲顶的曲顶柱体体积的2倍，--------1分
故所求几何体的体积为
-----2分
------4分
-----6分
五、证明题（分）
，均在闭区间上连续，，且，证明存在，使.
【证明】： 令，则函数在闭区间上连续，----2分
由，可得
，-------3分
，-------4分
显然-------6分
于是由连续函数的零点定理知，，即.----8分
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