1957年副题
试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等.
一、甲、方程3x2-5x+(k+1)=0若有实数根,k的值应当怎样？
乙、设a、b、c为△ABC的三边,已知a2=b2+bc+C2,求a边的对角A.
丁、设P为一个60°的二面角的平分面上任意一点,求证从P到二面角的棱的距离等于从P到二面角的一个面的距离的两倍.
戊、已知一个直圆锥的高为1.2尺,其侧面积为底面积的2倍,问此底面积为若干平方尺.
（答案要一位小数）
[Key] 一、甲、由题意知Δ=25-12(k+1)≥0,
∴ 13≥12k,
乙、由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,
又由题设知 a2=b2+c2+bc,
∴ -2bccosA=bc,
∴ A=120°.
丙、
作法:作线段AB=a,延长AB至C,令BC=b.
以AC为直径作半圆.
作BD⊥AC,与半圆交于D.
在DA连线上取DE=c.
过E作EF⊥BD,与DC连线交于F,则DF为求作的x.
注意:考生仅作出一图即可.
丁、证:如图,设π是二面角的一个面,P是平分面上一点.过P作棱AB的垂直平面与AB交于C点,与平面π交于一条直线CD.过P作PD⊥CD于D.则线段PC是P至AB的距离,PD是P至π的距离.
戊、解:设底半径=r,
直圆锥底面积=πr2.
[Key]
由①分解因式得 x=y+5,x=y-3.
于是原方程组分为下列两个方程组:
解方程组(i) ,得两组解:
解方程组(ii),得另两组解:
三、如图,已知AD,BC为梯形ABCD的一底,∠ABC=90°,∠ABD=α,
∠AED=β,∠BDC=γ, BE=a.求证:
[Key] 三、证明:在△BDE中,由正弦定理知
四、一圆周被AB弦分为优劣两弧,C为优弧的中点,D为劣弧上任一点.又E为劣弧AD的中点,F为劣弧DB的中点.若于CD弦上任取一点P,PA与CE交于Q，PB与CF交于R,则QR与AB平行,试证明之.
[Key] 四、证明:连结CA、CB,则CA=CB.
∵ E为AD弧的中点,F为DB弧的中点,
∴ ∠ACE=∠ECD,∠BCF=∠FCB.
在△CAP与△CPB中,
PQ∶QA=CP∶CA,PR∶RB=CP∶CB,
∴PQ∶QA=PR∶RB,
∴QR∥AB
五、在已知边长为a的正六边形的每边上依次取 1∶2的内分点,并顺序连结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正六边形.这样继续作了n次之后,则得n个新的正六边形,其边长依次设为x1,x2,……,xn.
(1)求边长x1,x2,……,xn ;
(3)求这n个新正六边形面积的和.
[Key]
由余弦定理及题设得:
用同样方法可求得:
根据等比级数求前n项的公式得:
∴这n个新正六边形面积的和为:
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