（线性代数） （ A 卷）
专业年级： 学号： 姓名：
题 号 一 二 三 总 分 总分人 复分人 得 分
得分 评卷人 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵
(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件2．已知 ，
，则行列式
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。
3．设向量组线性无关，且可由向量组线
性表示，则以下结论中不能成立的是
(A) 向量组线性无关；
(B) 对任一个，向量组线性相关；
(C) 存在一个，向量组线性无关；
(D) 向量组与向量组等价。
4．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是
(A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；
(B) 若的向量组线性无关，则的列向量组线性关，则的向量组线性关，则．设阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 。
得分 评卷人 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
列向量 的对应特征值的一个特征向量.
则＝ ，＝ ，＝ 。
7．设，；矩阵 ,
且 ___ ______。
8．已知实二次型正定,则常数的
取值范围为________________。
9．设矩阵是中元素的代数余子式，，
，已知，则 。
10．设，，已知向量与线性相关，则＝ 。
得分 评卷人
三、分析计算题(本大题共小题，每小题分，共分)的根，其中 ；
(2) 计算阶行列式。
12．设实向量，其中，，矩阵
试说明矩阵能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵，使为对角阵，
并写出此对角阵； (3) 求行列式。
13．已知线性方程组 ，取何值时，方程组无解； (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；
(3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。
14. 设实二次型
求：正交变换，将化为标准型
15. 设，， 。
(1) 试由构造 ；
(2) 求由基 ；
(3) 已知向量在基下的坐标。
线性代数 期末试卷（A）1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)
二、填空题 6．-1,-3,0； 7. ； 8. ； 9．； 10. －1。
三、计算题
11．（1），1，－1，3，－3； （4分）
（2） 。 （10分）
12．(1) 为实对称矩阵，所以相似于对角阵。 (2分)
(2) 因为，所以是的特征值。
又秩，，所以是的另两个特征值。
设为对应的特征向量，则由
，得对应的线性无关的特征向量
，令
则 。 (7分)
(3) 的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此。 (10分)
13．(1) 时， ，无解 (2分)
(2)时，，唯一解 (6分)
(3) 时，，无穷多解, 通解 。 (10分)
14．； (8分) 。 (10分)
15．(1),,， （3分）
(2) （6分）
(3) （10分）
注：本题答案不唯一，如，，，，
（线性代数） （ B 卷）
专业年级： 学号： 姓名：
题 号 一 二 三 总 分 总分人 复分人 得 分
得分 评卷人 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
设的特征值为1，2，3，是行列式 中元素的代数余子式，
则 ＝ （ ）
a. ； b. ； c. ； d. 6。
2．已知，则以下选项中正确的是 （ ）
a. ； b. ； c. ； d. 。
3．n维向量线性无关的充要条件是 （ ）
a．存在不全为零的数，使；
b．中任意两个向量都线性无关；
c．中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；
d．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
4．设是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中为任意常数） （ ）
a. ； b. ； c. ； d. 。
5．已知矩阵，伴随矩阵，且有非零解，则 （ ）
a. ； b. 或； c. ； d. 且。
得分 评卷人 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6．设行列式 ，是中元素的代数余子式，则＝ 。
7．设是实对称可逆矩阵，则将化为的线性变换为____________________。
8．设矩阵有特征值6，2，2，且能相似于对角阵，则＝______ _____。
9．已知是维实列向量，矩阵，为非零常数，则为正交矩阵的充分必要
条件为 。
10. 设，，其中互不相同，，
则线性方程组的解是____ _______。
得分 评卷人
三、分析计算题(本大题共小题，每小题分，共分)阶行列式： 。
12．已知线性方程组
（1）试问：常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？
2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。
，，已知线性方程组有解但不唯一。试求：
（1）的值； （2）正交矩阵为对角矩阵。
14．设矩阵的伴随矩阵，且。求矩阵。
15．已知线性空间的基的过渡矩阵为，，，；
试求；(2) 在基 ） 6. －11； 7. ； 8. ；
9．； 10. ；
三 计算题
11. 。 (10分)
12. （1）
无穷多解； 唯一解； 无解 （5分）
2） 分）1）方程组有解但不唯一，所以，故。 （3分）
（2） 特征值为 ，，。 （6分）
， 。 （10分）
14．由，有，得。 （3分）
用，左右乘方程的两端，得 （6分）
（10分）
15．（1）设,,则，故
，，； （3分）
（2）设所求向量的坐标为 ，则，即，
因为为可逆矩阵，得 ，由 （6分）
得， （8分）
故 （10分）
第1页，共13页
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○ 密 封 线 内 ○ 不 要 答 题 ○
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