2021-2022学年河南省南阳市八年级（上）期末数学试卷（含解析）
（时间90分钟，满分120分）
题号 一 二 三 四 总分 得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
的算术平方根是（ ）
A. B. - C. ± D.
在数轴上位于相邻的两个整数之间，这两个相邻的整数是（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
下列运算正确的是（ ）
A. a2?a3=a6 B. a2?b2=（ab）4 C. （a4）3=a7 D. （-m）7÷（-m2）=m5
如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
分别以下列每组数据中的三个数作为三条线段的长，首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A. 0.3，0.5，0.8 B. ，， C. ，， D. 3，5，8
如图，正方形ABCD中，AB=2，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设动点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 1或5
如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、C D、A D、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN丄EF，则MN=EF，你认为（ ）
A. 两人都对 B. 仅小亮对 C. 仅小明对 D. 两人都不对
可以用来说明命题“x2＜y2，则x＜y”是假命题的反例是（ ）
A. x=4，y=3 B. x=-1，y=2 C. x=-2，y=1 D. x=2，y=-3
下列计算正确的是（ ）
A. a2?a3=a6 B. 2a+3b=5ab C. a8÷a2=a6 D. （a+b）2=a2+b2
如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A. ∠B=∠C B. BC=2BD C. ∠BAD=∠CAD D. AD=BC
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
分解因式（2a-1）2+8a= ______ .
若|x|=3，则x= ______ ；若|x|=3，且x＜0，则x= ______ ；若|x|=3，且x＞0，则x= ______ ．
一组数据，样本容量为100，共分为五组，前三个组的频数分别为15、15、18，第四组的频率是0.2，那么第五组的频率是______ .
如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为______米（精确到0.1m）．
如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t=______s时，△AMN为等腰三角形．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
因式分解 (1)2 a3－12 a2＋18 a??????? ?????(2)9 a2( x－y)＋4 b2( y－x)
四、解答题（本大题共7小题，共65.0分）
根据同底数幂的乘法法则，我们知道：am+n=am?an（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：Hm+n=Hm?Hn，例如，H3=H2+1=H2?H1，H2=H1+1=H1?H1.请根据这种新运算解决以下问题： （1）若H1=-1，则H3= ______ ；H8= ______ ； （2）若H6=729，求H1的值； （3）若=4且H1＞0，求出+++…+的值.（结果用幂的形式表示）
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D ，OE⊥AC于点E，若AB＝8cm，AC＝6cm求⊙O的半径.
小青在八年级上学期各次数学考试的成绩如表：
考试类别 平时 期中考试 期末考试 测验1 测验2 测验3 测验4 成绩（分） 132 105 146 129 134 130 （1）求小青该学期平时测验的平均成绩； （2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩． ?
如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则： （1）请你求出另一旗杆BD的高度； （2）小强从M点到达A点还需要多长时间？
我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？ 阅读与证明： (1)这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． (2)这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等． (3)这两个三角形均为锐角三角形，也可证全等． 请你在上述的说法的2或者3中选择一个进行证明(提示：请写出已知与求证)
如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线BA上一点，连接CM，以CM为直角边且在CM的下方（沿CM顺时针方向）作等腰直角三角形CMN，∠MCN=90°，连接BN． （1）若AC=BC，∠ACB=90° ①如图1，当点M在线段AB上（与点A不重合）时，则BN与AM的数量关系为______，位置关系为______； ②当点M在线段BA的延长线上时，①的结论是否成立，请在图2中画出相应图形并说明理由． （2）当图3，若AC≠BC，∠ACB≠90°，∠ABC=45°，点M在线段AB上运动，请判断BN与AB的位置关系，并说明理由．
如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）若∠BQD=30°时，求AP的长； （2）当点P，Q运动时，线段PD与线段QD是否相等？请说明理由； （3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】 本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】 解：∵（）2=， ∴的算术平方根是． 故选A．??
2.【答案】B
【解析】解：∵4＜7＜9， ∴2＜＜3， ∵在数轴上位于相邻的两个整数之间， ∴这两个相邻的整数是2和3， 故选：B． 估算出的值即可解答． 本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A．a2?a3=a5，故此选项不合题意； B．a2?b2=（ab）2，故此选项不合题意； C．（a4）3=a12，故此选项不合题意； D．（-m）7÷（-m2）=m5，故此选项符合题意； 故选：D． 直接利用单项式乘单项式以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案． 此题主要考查了单项式乘单项式以及幂的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】
如图：∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB=AC， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选A．
5.【答案】B
【解析】解：A、0.3+0.5=0.8，不能构成三角形，不符合题意； B、+＞，能构成三角形，符合题意； C、+＜，不能构成三角形，不符合题意； D、3+5=8，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：当点P在BC上时，∠ABP=∠DCE=90°，AB=DC， 当BP=CE=1时，△ABP≌△DCE， ∴t==1， 当点P在CD时，△ABP与△DCE不全等， 当点P在AD上时，∠BAP=∠DCE=90°，AB=DC， 当AP=CE=1时，△BAP≌△DCE， ∴t==5， 故选：D． 分三种情况讨论，由正方形的性质和全等三角形的性质可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴EG=MP， 对同学小明的说法： 在Rt△EFG和Rt△MNP中， ， ∴Rt△EFG≌Rt△MNP（HL）， ∴∠MNP=∠EFG， ∵MP⊥CD，∠C=90°， ∴MP∥BC， ∴∠EQM=∠EFG=∠MNP， 又∵∠MNP+∠NMP=90°， ∴∠EQM+∠NMP=90°， 在△MOQ中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP）=180°-90°=90°， ∴MN⊥EF， 当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直， 故小明不正确． 对乙同学的说法：∵MP⊥CD，∠C=90°， ∴MP∥BC， ∴∠EQM=∠EFG， ∵MN⊥EF， ∴∠NMP+∠EQM=90°， 又∵MP⊥CD， ∴∠NMP+∠MNP=90°， ∴∠EQM=∠MNP， ∴∠EFG=∠MNP， 在△EFG和△MNP中， ， ∴△EFG≌△MNP（AAS）， ∴MN=EF，故小亮同学的说法正确， 综上所述，仅小亮同学的说法正确． 故选B． 分别过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q，根据正方形的性质可得EG=MP，对小明同学的说法，先利用“HL”证明Rt△EFG和Rt△MNP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义，MN⊥EF，当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直；对小亮同学的说法，先推出∠EQM=∠EFG，∠EQM=∠MNP，然后得到∠EFG=∠MNP，然后利用“角角边”证明△EFG和△MNP全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．
8.【答案】D
【解析】解：当x=2，y=-3时，x2＜y2，但x＞y， 故选：D． 据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
9.【答案】C
【解析】解：A、a2?a3=a5，故A不符合题意， B、2a与3b不是同类项，不能合并，故B不符合题意， C、a8÷a2=a6，故C符合题意， D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故D不符合题意． 故选：C． 根据幂的运算可判断A、C，由合并同类项法则可判断B，完全平方公式可判断D； 本题主要考查幂的运算和完全平方公式以及合并同类项，属于较容易的题目．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， ∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴BC=2BD， 当∠BAC=90°时，AD=BC， 故选：D． 证Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD，则BC=2BD，当∠BAC=90°时，AD=BC，即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】（2a+1）2
【解析】解：原式═4a2+4a+1=（2a）2+4a+1=（2a+1）2， 故答案为：（2a+1）2． 将原式化简，利用完全平方公式分解即可． 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】±3；-3；3
【解析】解：若|x|=3，则x=±3；若|x|=3，且x＜0，则x=-3；若|x|=3，且x＞0，则x=3， 故答案为：±3；-3；3． 原式利用绝对值的代数意义判断即可． 此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
13.【答案】0.32
【解析】解：第四组的频数：100×0.2=20， 第五组的频数：100-15-15-18-20=32， 第五组的频率是32÷100=0.32， 故答案为：0.32． 首先计算出第四组的频数，利用100减去各组频数可得第五组的频数，然后再计算频率即可． 此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数．
14.【答案】192.2
【解析】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米， 在Rt△ABC中，BC=≈192.2米， 故答案为：192.2 根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，会识别方向角是解题的关键．
15.【答案】4或16
【解析】解：如图1，设点M、N运动x秒后，AN=AM， 由运动知，AN=12-2x，AM=x， ∴12-2x=x， 解得：x=4， ∴点M、N运动4秒后，△AMN是等腰三角形； 如图，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN=AM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴∠AMC=∠ANB， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中， ∠C=∠B，∠AMC=∠ANB，AC=AB， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM=BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM=y-12，NB=36-2y， ∵CM=NB， ∴y-12=36-2y， 解得：y=16．故假设成立． ∴点M、N运动时间为4秒或16秒时，△AMN为等腰三角形． 故答案为：4或16． 分两种情况求解：如图1，由可得AN=AM，可列方程求解；如图2，首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值． 此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定，关键是根据题意计算动点M和N的路程，理清线段之间的数量关系．
16.【答案】(1).???(2).?
【解析】试题分析：考查因式分解。首先提前公因式，然后用乘法公式化简。 （1）原式＝ ??????????? ＝ ??????????? ＝ ?? （2）原式＝ ??????????? ＝ ??????????? ＝ 考点：因式分解
17.【答案】-1? 1
【解析】解：（1）H2=H1+1=H1?H1， ∵H1=-1， ∴H2=1， ∴H3=H2+1=H2?H1，=1×（-1）=-1， H8=（H1）8=1． 故答案为：-1，1； （2）由（1）可知，H6=（H1）6=729=36， ∴H1=±3； （3）∵H3=（H1）4，H2=（H1）2， ∴=（H1）2=4， ∴H1=±2， ∵H1＞0， ∴H1=2； ∴+++…+=H1+（H1）2+（H1）3+…+（H1）n， ∴+++…+=2101-2． （1）由题意可得H1=-1，则H2=1，Hn=（H1）n； （2）由（1）可知，H6=（H1）6=729，依此即可求出H1； （3）化简式子+++…+=H1+（H1）2+（H1）3+…+（H1）n，再将H1=2代入求和即可． 本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键．
18.【答案】解：连接OA， ∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠CAB=∠OEA=∠ODA=90°； ∴四边形OEAD是矩形； ∴OD=AE ∵点O为圆心，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AE=AC=6×=3cm，AD=AB=8×=4cm； 在Rt△OAD中，∠ODA=90°，OD=AE=3cm，AD=4cm ∴OA=cm 即⊙O的半径为5cm．
【解析】此题主要考查了垂径定理及勾股定理的综合应用． 连接OA，易知四边形ODAE是矩形，则OE=AD，OD=AE；由垂径定理，可求得AE、AD的长，进而可在Rt△OAD（或Rt△OAE）中，由勾股定理求得半径的长．
19.【答案】解：（1）平时测验总成绩为：132+105+146+129=512（分）， 平时测验平均成绩为：512÷4=128（分）， 答：小青该学期平时测验的平均成绩是128分； （2）总评成绩为：128×10%+134×30%+130×60%=131（分）， 答：小青该学期的总评成绩是131分．
【解析】本小题主要考查平均数、权重、加权平均数等基本的统计概念，考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力． （1）首先求得平时成绩的和，然后除以数据的个数即可求得平时的平均成绩； （2）利用加权平均数求得平均成绩即可．
20.【答案】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠DBA=90°， ∴∠2+∠D=90°， ∴∠1=∠D， 在△CAM和△MBD中，， ∴△CAM≌△MBD（AAS）， ∴AM=DB，AC=MB， ∵AC=3m， ∴MB=3m， ∵AB=12m， ∴AM=9m， ∴DB=9m； （2）9÷0.5=18（s）． 答：小强从M点到达A点还需要18秒．
【解析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM=DB，AC=MB，然后可求出AM的长，进而可得DB长； （2）利用路程除以速度可得时间． 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM≌△MBD，掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
21.【答案】解：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1． 求证：△ ABC≌△A1B1C1． 证明：过 B作BD⊥AC于D，过B1作B1D1⊥B1C1于D1， 则∠ BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°， 在△ BDC和△B1D1C1中， ， ∴△ BDC≌△B1D1C1， ∴ BD=B1D1， 在 Rt△BDA和Rt△B1D1A1中 ∴ Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL)， ∴∠ A=∠A1， 在△ ABC和△A1B1C1中 ∴△ ABC≌△A1B1C1(AAS)．
【解析】过B作BD⊥AC于D，过B1作B1D1⊥B1C1于D1，得出∠BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°，根据SAS证△BDC≌△B1D1C1，推出BD=B1D1，根据HL证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1，推出∠A=∠A1，根据AAS推出△ABC≌△A1B1C1即可．
22.【答案】AM=BN ? AM⊥BN
【解析】解：（1）①AM与BN数量关系是AM=BN，位置关系是AM⊥BN，． 理由：如图1，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠MCN=90°，AC=BC，CM=CN，∠CAB=∠CBA=45° ∴∠ACM=∠BCN，且 AC=BC，CM=CN， ∴△ACM≌△BCN （SAS） ∴∠CAM=∠CBN=45°，AM=BN． ∴∠ABN=45°+45°=90°，即 AM⊥BN 故答案为：AM=BN，AM⊥BN； ②当点M在线段BA的延长线上时，①的结论仍然成立． 理由如下：如图2， ∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠MCN=90°，AC=BC，CM=CN，∠CAB=∠CBA=45° ∴∠ACM=∠BCN，且 AC=BC，CM=CN， ∴△ACM≌△BCN （SAS） ∴∠CAM=∠CBN=45°，AM=BN． ∵∠CAB=∠CBA=45°， ∴∠ABN=45°+45°=90°，即 AM⊥BN； （2）如图3，过点C作CE⊥CB，交AB于点E， ∵∠ABC=45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴CE=CB， ∵△MCN是等腰直角三角形， ∴CM=CN，∠MCN=90°， ∴∠ECM+∠BCM=90°，且∠BCM+∠BCN=90°， ∴∠BCN=∠ECM，且CM=CN， ∴△CNB≌△CME（SAS）， ∴∠NBC=∠MEC=45°， ∴∠MBN=45°+45°=90°， ∴BN⊥AB． （1）①由“SAS”证明△ACM≌△BCN，可得结论； ②由“SAS”证明△ACM≌△BCN，可得结论； （2）如图3，过点C作CE⊥CB，由“SAS”证明△ECM≌△BCN，可得结论． 本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质和等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
23.【答案】解：（1）∵△ABC是边长为9的等边三角形， ∴∠ACB=60°， 又∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°， 设AP=x，则PC=9-x，QB=x， ∴QC=9+x， ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°， ∴PC=QC， 即， 解得x=3， ∴当∠BQD=30°?时?AP=3； （2）线段PD与线段QD相等， 证明：如图，过P作PF∥QC，则∠AFP=∠APF=60°=∠A，∠DQB=∠DPF， ∴△AFP是等边三角形， ∴AP=PF， ∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP， ∴BQ=PF， 在△DBQ和△DFP中， ， ∴△DBQ≌△DFP（AAS）， ∴QD=PD； （3）线段ED的长不变， 由（2）知△DBQ≌△DFP， ∴BD=DF， ∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB， ∴AE=EF， ∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=为定值，即DE的长不变．
【解析】（1）设AP=x，则PC=9-x，QB=x，在Rt△QCP中，依据∠BQD=30°，即可得到，进而得出x的值； （2）过P作PF∥QC，则∠AFP=∠APF=60°=∠A，∠DQB=∠DPF，依据AAS判定△DBQ≌△DFP，即可得出QD=PD； （3）依据△DBQ≌△DFP，即可得到BD=DF，再根据△AFP是等边三角形，PE⊥AB，即可得到AE=EF，进而得出DE=DF+EF=BF+FA=AB为定值． 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形．
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