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解：方法一：连接AC，CE⟂AB，E为AB中点，故CA=CB，同时CB=AB，故△ABC为等边三角形；F为AD的中点，延长BF交CD延长线于点H，易知△DFH≌△AFB，DH=AB；而CH||BE，CH：BE=CG：GE=4：1，故 方法二：连接AC，CE⟂AB，E为AB中点，故CA=CB，同时CB=AB，故△ABC为等边三角形；F为AD的中点，作FN||AB交AC、CE于点M、N，易知AF=AM=FM=AE=2MN，故NG：EG=3：2，而N为CE的中点，故CN=NE，故EG：CG=1：4
解：作AF、BE垂直于y轴于点F、E，易知SBOE=2，故k=4 如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是BC的中点，F是CD边上一点，将△CEF沿EF折叠得到△GEF，连接CG交延长分别交EF、AB于点O、H，若G是OH的中点，则CF=_________
解：过点G作MN||AB，FM⟂MN于点M，易知△MGF~△NEG，设FG=3a，则MG=a，而FG=FC=MN=3a，故GN=2a，由相似得4：2a=a:1,a= 【探究发现】如图 1，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，E 是 AD 边上一点，作 OF⊥OE 交 AB 于点 F. 学习小队发现，点 E 在 AD 边上运动过程中，恒有△AOE≌△BOF. 请你证明这个结论；
【类比迁移】如图 2，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，∠ABD=30°，E 是 BA 延长线上一点，将 OE 绕点 O 逆时针旋转 60°得到 OF，点 F 恰好落在 DA 的延长线上，求 AE/AF的值； 【拓展提升】如图 3，等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=12，点 E 是 BC 边上一点，以 BE 为边在 BC 的上方作等边△BEF，连接 CF，取 CF 的中点 M，连接 AM，当 AM=7 时，直接写出 BE 的长.
解：(1)∠EOF=∠AOB=90°,得∠AOE=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，故△AOE≌△BOF (2)连接DE，易知∠AOD=∠EOF=60°，OA=OD，OE=OF，故△DOE≌△AOF，DE=AF，∠OAF=∠ODE=120°，得∠ADE=60°，
(2)取BC的中点G，MG为△BCF的中位线，BE=BF=2MG；同时BF与BC的夹角为60°不变，故M在直线GN上运动且与BC成60°度夹角；如图，当AM=时，MH=2，此时MG=1，故BE=2；同理，MG=5时，此此BE=10； 综上所述BE为2或10 |
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