电感和电容

一，什么是电感

信号完整性中的核心概念是：传输线；那如何理解传输线本身，则决定了对信号完整性的认知是否正确。好，那传输线到底是什么呢？

是PCB上的一根走线，是同轴电缆，还是连接器上的金属针脚？它们全都是或则全都不是。想必大家都看到过：无损传输线模型（你没看过的看下图，没得动态图/小电影）：电感（串联）+电容（并联），然后许许多多个电感+电容构成了无损传输线。

所以，我们就从最基本的电感和电容开始吧。

1，电感器

如下图所示，我们一直以来看到的电感结构都是长这样的：它有一个铁磁心，然后有一根或多根导线绕在磁心上；当电流流过导线时就会产生磁场：伸出你的万能右手握住这根铁磁棒，四指顺着电流的方向，那么大拇指指向的就是磁场方向；电感的感值：与磁心的磁导率（ue）、绕线匝数的平方（）以及绕线面积（Ae）成正比，与磁路长度（Le）成反比。

2，传输线电感

我们知道传输线也有电感，但对于传输线来说，是否存在这种电感结构呢？乍一看似乎没有？

不过仔细观察传输线的电流回路，就可以看到是有类似结构的：传输线上的电流只要从源端发出，那么它必然将会回到源端，形成一个的闭环。如下图所示传输线的信号路径（信号电流）与返回路径（返回电流）形成了一个个回路，构成类似电感器的环路结构，这个电感就叫做：回路电感。（下面会详解回路电感计算）

——并非是信号从源端传播到了终端后，回流才从终端返回到了源端最终形成一个回路；而是信号在不断向前传播的同时，回流在不断地出现。

那我们再深入思考：假如我作为村长儿子的任性发作，就只要截取某一段导线，不管它的返回路径，就不形成任何环路结构了，那么这根单独存在的导线还存在电感么？

1. 这好像就有点意思了，作为村长的儿子作威作福，那是要遭法律制裁的；不过我们先来解决这个刁钻的问题，这问题似乎有点奇怪，没有头绪的话就先看下电感定义本身：电感：L = dφ/dt，即在单位变化电流下在导线内部及其周围产生磁通量（磁力线匝数）的变化；再简单一点表述：电感就是导体电流为1A时周围的磁力线匝数；

2. 再来看下：假设世界上存在这么一段导线，只有这一段有电流，前后都没电流，也没有回流（这种情况实际不存在），那么它有电感么？我们比照电感的定义，当这段导线通过1A电流时，周围是否产生了磁力线？我保证它肯定有，因为只要有电流流过，就会产生围绕着电流的闭合磁力线，差别只在于磁力线匝数的不同（没有那么多圈圈来叠加）。那么，这段导线的电感，我们就称它为：局部自感。

——圆杆导线局部自感近似公式：L = 5*Len[ln(2*Len/r)-(3/4)]。

局部自感是局部导线自身的电感，如果有导线a和导线b两条导线相邻，而且导线b中发生电流变化，那么它必然会影响到围绕着导线a的磁力线匝数发生变化，此时所产生的电感就是：局部互感。那么局部自感和局部互感就组成了：局部电感；即电感由：自感和互感组成。

——磁力线只要穿越了导线的周边范围，就必然会与导线自身的磁力线叠加或抵消，根据电感公式可知，其磁力线的大小发生变化则电感量必然发生变化。两根圆杆导线局部互感近似公式：L = 5*Len[ln(2*Len/s)-1]。

传输线在信号传播过程中会形成一个完整的电流回路，其总电感是：回路电感，所以对于回路电感来说，必然由：回路自感和回路互感组成。

接下来是举个栗子环节，假设单板上只有一条传输线（不计成本，100平米的PCB板上，就画一条线），那么回路电感由哪几部分组成的呢？

我们知道传输线的电流是从源端发出经过信号路径，再从回流路径返回到源端，形成一个电流环路；如下图所示，那么电流环路的电感由这几部分构成：

1. 信号路径自感（La，局部自感）：信号路径本身的电感；

2. 回流路径自感（Lb，局部自感）：回流路径本身的电感；

3. 信号路径和回流路径互感（Lab，局部互感）：如上图所示，信号路径a产生的磁力线会与回流路径b的磁力线相互影响（叠加或抵消），那么它们之间的相互影响就是互感。

如上图所示，可以看到由于回流路径上的电流方向与信号路径相反，用右手定则发现电流相反会减小相邻导线的磁力线匝数，所以此时互感的作用是减小整体电感；因此传输线回路电感：Lloop = （La - Lab）+ （Lb - Lab）= La + Lb – 2*Lab。互感Lab随信号路径与回流路径间距的减小而增加，随着信号频率增加，为减小Lloop（回路自感），使返回路径尽量靠近信号路径并减小回路面积（返回路径在信号路径正下方），从而增大两条路径之间的局部电感（Lab）。

回路互感指的是两条不同传输线之间产生的电感：某一回路中流过单位安培电流时，环绕在另一完整电流回路周围的磁力线匝数；电流方向不同回路互感对回路电感大小的影响不同（电流同向：回路电感=回路自感+回路互感；电流反向：回路电感=回路自感-回路互感）。

——磁力线的圈圈要包围住导线（电流），才能影响导线的电感，如上图中，如果磁力线落在a和b之间，那么是不会影响到导线电感的。

如下为传输线所有的电感定义：

1. 局部电感：其它地方没有电流存在时，环绕在该段导线周围的磁力线匝数。

2. 局部自感：仅在一段导线中有单位安培电流而其他地方无电流存在时，环绕在该段导线自身周围的磁力线匝数。

3. 局部互感：仅在某一段导线中有单位安培电流而其他地方无电流存在时，环绕在另一段导线周围的磁力线匝数。

4. 回路电感：流过单位安培电流时，环绕在整个电流回路周围的磁力线总匝数。

5. 回路自感：完整电流回路中流过单位安培电流时，环绕在该回路周围的磁力线总匝数。

6. 回路互感：某一回路中流过单位安培电流时，环绕在另一完整电流回路周围的磁力线匝数。

7. 有效电感：当整个回路中流过单位安培电流时，环绕在一段导线周围的磁力线总匝数，其中包括源于回路每一部分电流的磁力线。

3，电感的作用与影响

好，我们了解了导线上是否有电感，而且有哪些电感，怎么来算等等问题；那么导线上的辣么多乱七八糟的电感有什么作用？它又是如何影响传输线的？

1. 当周围磁力线匝数发生变化时导体两端会产生感应电动势：V = ΔN/Δt = L*ΔI/Δt = L*dI/dt。导线自身电流变化时，它通过自感产生自感电动势，阻止导线自身电流的变化；

——所以从原理来说，相当于一个电感器的作用，会阻止导线中电流的变化。

2. 如果有相邻导线，则会通过互感在相邻导线上产生感应电动势，从而形成感应电压噪声。

当导线中通过直流电流时，导线中的电流分布是均匀的，计算的磁力线匝数重点关注导线外的磁力线，事实上如下左图金箍棒的横截面所示导线内部也存在磁力线（上节所述的内电感），是导线自感的一部分；导线内部和外部磁力线圈都会影响自感，我们称它们为：内部自感和外部自感。

如下中图所示当电流聚集在金箍棒的中间I1或则分散在边缘I2（I1 = I2），它们的自感一样么？如下右图所示，I1和I2的磁力线只是分别围绕在I1和I2的外面，I1和I2电流大小相等，那么在I2圈外呈现的I1和I2的磁力线匝数（电感）相同；但是在导线内部I1存在着相比于I2更多的磁力线匝数（内部自感部分），这些多出来的磁力线匝数就是I1相对于I2更大的电感量。

如下图所示为电流在导线内部和外部的磁场强度，导线内部的磁场产生内部自感，而导线外部的磁场产生外部自感；外部自感比内部自感大得多，因此传输线每单位长度电感近似于外部自感。

我们知道了圆导线（当然也包括扁导线）的电感为内部自感和外部自感之和，其内部自感是会变化的：

1. 当用一根载流导线去靠近另一根载流导线时，那么两根导线的磁场会相互影响，使得导线上的电流分布不均匀，如果两根导线的电流方向相反，那么在两根导线相对的表面上电流密度最大，这称为邻近效应；

2. 当一个导线的载流频率增加，那么导线中电流会趋于集中到导线的外表面，从而内电感会不断减小，而外电感保持不变，从而导致总电感下降，但是对总电感的影响并不大；这种电流分布趋于到导线外表面的现象，称为趋肤效应。

但是为什么外部自感不会变化呢？

因为内电感的变化源于导线内部电流分布的变化，但是内部电流分布再怎么变化，也不会跑到导线外面来，所以从导线外面看来，其内部电流大小和方向都没发生任何变化，当然外不磁力线也不可能发生变化，即外部自感也不变。

3.1趋肤效应

我们知道了导线外部的磁力线匝数（外部电感）并不会随着频率的变化而变化，但是导线内部磁力线匝数（内部电感）会随着电流的分布而出现变化。随着频率的增加导线的感抗Z= jωL也随之增加，而电流总是循着最小阻抗的路径流动，当导线感抗与电阻比值随着频率越高越大时，电流便越趋于沿着导线的外表面流动（此时导线内部电感小，减小感抗），这就是趋肤效应。

趋肤效应影响的结果是随信号频率的增大而导线电流趋于分布到导体外表面，影响如下：

1. 导线自感减小，从而减小了传输线的回路电感；

2. 导线电流通过的横截面减小（Z=ρ*L/A），导线电阻增加，线路损耗增加。

如果上面的说法太数学，那么我们换一个角度再来感性理解一遍趋肤效应：

我们看到下图中铜棒的磁力线分布，越靠近中心的位置外围所环绕的磁力线越多，说明越靠近铜棒中心的电感值越大，即：越靠近中心所受到的感抗也越大；所以当信号频率增加，根据Z=jωL，随着频率增加电感感抗大于导线电阻值时，电流自然要趋于从更低的阻抗路径通过，即从铜棒的外表层流过。

——电流似乎是个先知，它总能自动的找到阻抗最小的路径，然后选择这条路径通过；这就是电流的自然法则。

我们知道了随着电流频率的增加，电流流向导线的外边缘，大部分电流集中在一个厚度等于趋肤深度导线的趋肤深度δ的环面中： δ = √(1/σ*π*μ*f)。其中，σ：电导率；μ：磁导率；f：正弦波频率；一般典型的导体都是非铁磁性的，所以μ= μ0 = 4π*10⁻⁷。

——铜线的趋肤深度：δ = 66*√(1/f)μm。

如下图所示，趋肤效应会将电流聚集到导线表面，使得通过导线的实际横截面积减小，那么其必然会增加导线的电阻率（单位长度的电阻大小）。如下图所示，对圆导线的电阻损耗进行分析：

1. 对于直流电流来说，电流均匀分布在导线中，对于左上图的圆导线来说，其单位长度的直流电阻为：rdc =1/(σ*π*rω²)；其中rω表示导线的半径；

——整个圆导线截面上都有电流，横截面积为π*rω²。

2. 随着频率的增加，当趋肤深度小于导体半径：rω >> δ时。单位长度的电阻为rhf= 1/{σ*[π*rω²-π*(rω²-δ)²]} ≈ 1/(σ*2π*rω* δ)；

——圆导线中心（rω - δ）没有电流通过，只有导线外层的一个环（δ）中有电流流过。

3. 根据趋肤深度公式，圆导线δ与频率的平方根成反比，所以根据电阻公式（与趋肤深度成反比）随着频率的增加，单位长度电阻与频率的平方根成正比，即以10dB/10倍频的速度增加，导线单位长度电阻与频率响应曲线如下图所示。

4. 对于右上图中的带状线来说，其直流电阻rdc= 1/(σ*ω*t)；其中ω和t分别是带状线的宽度和厚度；

——1oz铜铺成的带状线厚度为1.38mil。

5. 随着频率的增加，电流趋于集中在带状线厚度等于一个趋肤深度δ的表面，单位长度电阻rhf = 1/[σ*(2δ*t+2δ*δ)] = 1/[2δ*σ*(t+ω)]；此外带状线的高频电阻与频率的平方根成正比，其直流电阻和高频电阻的渐近线频率fbreak处相交。

3.2邻近效应

趋肤效应是导线自感所导致的一种现象，那两条导线之间的互感会导致传输线什么样的现象？答案是：邻近效应。

1. 信号路径上电流与回流路径上电流的方向是相反的，回路电感=自感-互感；

2. 在高频电流中信号路径与回流路径中的电流分布靠的越近，它们所构成的回路面积就越小（互感越大），从而传输线回路电感就越小。

——电流分布总是趋于低阻抗的路径流动，如果是直流电流呢？那么电感就毫无作用（Z = jωL = 0），所以此时电阻占据主要作用，所以电流就会按照最小电阻的路径来流动（电流平均布满整根导线，实现最低电阻）。

3.3涡流

根据电磁感应原理：在两个相互靠近导体中，一个导体上电流有改变，那么另外一个导体的两端会产生感应电压，同时该感应电压会形成电流；再简单点表述：当其中一个导体电流变化时，另一个导体会产生感应电流，这个感应电流就是涡流。

——举个栗子，两根平行导线，其中一根导线的电流变化则必然导致围绕着该导线的磁力线匝数发生变化，这些磁力线中的部分匝数同时包围住了另外一根平行导线，即另一个平行导线包围的磁力线发生了变化，那么另一根导线必然会产生感应电压。太拗口了~

如下左图所示，涡流存在于所有的所有的导体结构，但有一种非常特殊的几何结构：电流回路靠近大的导电平面；举个栗子：金属平面（可以不是GND或电源）上方有一个线圈，当线圈中有电流变化时，变化的磁力线就会穿过导电平面，并在平面上激起涡流，这些涡流反过来会影响自己产生的磁力线。

如上右图所示，通过麦克斯韦方程组求解：涡流产生的磁力线结构就像是平面下方的另一电流产生，它与平面的距离和真实电流与平面的距离相等，这个虚构的电流称为：镜像电流。镜像电流与实际电流大小相等，方向相反，而且镜像电流的一些磁力线会环绕在实际电流周围，源于涡流的互磁力线圈将减小导线的总电感，实际上就是减小了线圈的局部电感。

好，有一个问题是：在电感下方铺铜皮（GND或其它），是否能减小其正下方导线的影响？首先，铜线以及FR4介质的磁导率约为1，对电感所产生的磁力线无任何作用，磁力线可以轻易穿透铜皮和介质不会产生衰减，对磁力线产生影响的只是与电感距离的大小，离电感越远磁力线密度越小，互感就越小。

那么铜皮就真的没有任何作用了么？不是的。电感下方的铜皮会产生涡流，涡流的方向与电感电流的方向相反，两者磁力线相互叠加后减少了铜皮下方的电感磁力线（电感与铜皮涡流的磁力线方向相反），从而减小了电感对其下方导线的影响（互感减小）。

那么电感下方铺铜皮还会带来其它什么影响？刚刚分析了铜皮会产生涡流，必然会增加了互感，从而减小了电感的感量。如果是开关电源的电感，那么随着电感感量的减小，输出电源纹波电流会增加。另外，铜皮涡流势必会导致电源/GND平面的噪声增加，影响EMI辐射。（关于金属屏蔽相关的分析，后续再《电磁兼容性基础》中详细分析）

不知不觉又讲了很多电感相关的内容，如果有点看不懂，同学们辛苦再回顾一下《电感特性原理》和《电感器特性原理》两章节，艾玛，要命了。

二，什么是电容

1，电容的概念

如上之前的电容专题所述，电容是两块导体中间夹着一块绝缘体构成的电子元件，实际上任何两个绝缘导体之间都有一定的电容量；如果给两个导体上分别加上正电荷和负电荷，那么两个导体之间会存在电压，那么这一对导体的电容量就是单个导体上存储电荷量和导体之间电压的比值：C = dQ/dV；两个导体在给定电压下储存电荷越多，电容值就越大。

电容中间是绝缘介质材料，两个导体之间不存在直流通路，只有当导体两端电压发生变化时，才会有电流流经电容器：I = ΔQ/Δt = C*dV/dt；这个电流是等效电流（并不是真的有电流从电容中间流过）称之为：位移电流；（在导体中自由电荷的运动称之为：传导电流）。当dV/dt保持不变时，电容容量越大，流过电容的电流就越大，表现出来的电容阻抗就越小。

平行板电容是PCB上的常见电容形式，电容量近似表示为：C = ε0 * εr * A/d；该式表明一个重要的几何结构特征：导体间距越大，电容量越小；重叠面积越大，电容量越大。

2，介质介电常数

我们先来回顾一下极化的概念，任何物质在电场的作用下都会被极化，如下图所示在外部电场E的作用下，介质内部会产生一个强度为E’的反向电场。由于增加在两个导体上电荷所形成的电场E被介质极化电场E’削弱，所以需要在导体上增加更多的电荷Q才能达到原本的电场强度E0（外在表现为导体间电压），从而增加了电容量；其增加电容量的比例就是相对介电常数：εr = E/E0 = E/(E-E’) = C/C0。

当电介质受到静电场作用时，往往要经过一段时间（磁豫时间/偶极子运动时间）极化强度才能达到其最终值；如果电介质受交变电场作用，而交变电场的改变相当迅速时，极化就会追随不及而滞后，从而导致动态介电常数与静态介电常数之间的不同；当信号频率上升到驰豫极化完全跟不上电场的变化（假设100GHz），只会有瞬时极化发生，此时εr 趋向于 1，且无介质损耗发生；

信号频率变化引起介电常数变化的同时，还会导致介质损耗；由于电介质在电场作用下偶极子会发生移动（从而产生极化），这会导致电场能量的损耗：

1.随着频率的增加，电场周期变短，短到可以与驰豫时间相比，极化时间逐渐跟不上电场的变化，这时介质损耗也逐渐增加；

2.同时偶极子运动所产生的极化电流（信号路径与回流路径之间的漏电流/电导）也逐渐增加。

——这是除了趋肤效应外的另一高频损耗，且跟电介质本身特性强相关。