【原】高考名题系列1：线过定点不解释

作为专门研究高考、新高考的公众号，开这个专栏理所当然.

今天的素材是2022年全国乙卷理科的圆锥曲线综合题.

这道题太经典.

1

猜定点，不解释

这么麻烦的题目，当然要先猜后证.

我在专栏《一顿火锅钱，搞定高考圆锥曲线大题》里谈到过，先从特殊位置、好算的位置出发.

不过本题设计比较刁钻.

通常情况下，垂直于坐标轴、过原点、过椭圆顶点的直线，与椭圆联立会好算一些.

但是本题都不太好算，相对好算的是过椭圆上顶点的直线（无根号）.

这样算来，N(0,2)，H(0,-22/13)，所以定点在直线x=0上.

若取另外一条特殊直线y=-2，则N、H、A三点重合于（0，-2），则定点在直线y=-2上.

所以，我们预判定点为（0，-2）.

以上的一切过程，是在草稿上静悄悄发生的.

因为y=-2这条直线，写在卷面上，并不太容易解释——索性不解释.

也就是说，直线过定点的问题，只用猜，不解释.

即，我们不用解释必要性.

必要性的作用是，防止漏解.

而动直线过了这个定点，就不会过另外一个定点，否则就是定直线了.

2

形式的简化就是最大的简化

老左在专栏《一顿火锅钱，搞定高考圆锥曲线大题》反复讲到的三句话，就是：

1. 思路和运算是一回事：思路的设计本身要考虑运算能否执行下去，运算过程受阻要考虑调整思路.
   
   

2.形式的简化就是最大的简化.

3.直线设为x型还是y型，有讲究.

本题中过P(1,-2)的直线，设为x型较为方便.

因为避免了讨论斜率不存在的情况.

更进一步，如果设为x=m(y+2)+1的话，与椭圆联立，运算量会激增.

不如设为x=my+t，因为形式非常简化、好看.

待到结果化到最简之后，再结合1=-2m+t使用，人会轻松很多.

3

向量优解、参数方程、调和点列

既然涉及到三点共线，那么有两个办法：

1. 斜率角度：证明kNA=kHA.上面就是这种解法，不赘述.
   
2. 向量角度：证明向量HN=入向量AN.

从图形上看，两个向量HN，AN都可以朝直线PN方向上的向量转化.

是不是找到调和点列的感觉了？

而三条线段PM,PN,PQ起点都是P，用过点P的参数方程就顺理成章了.