【原】中考数学压轴试题复习第四部分专题二图形的翻折

图形的翻折

例5         2016年上海市奉贤区中考模拟第18题

如图1，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝2，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE//AB，那么的值是______．

                                 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“16奉贤18”，拖动点D在BC上运动，可以体验到，当DE//AB时，△ACF是顶角为30°的等腰三角形．

答案  ．思路如下：

如图2，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∠C＝30°，AC＝2，所以AH＝1，CH＝．

在Rt△ABH中，∠B＝45°，所以BH＝AH＝1．所以BC＝．

如图3，当DE//AB时，∠BAE＝∠AED＝∠C＝30°．

此时∠AFC＝∠B＋∠BAE＝75°．

在△ACF中，∠C＝30°，∠AFC＝75°，所以∠FAC＝75°．所以CF＝CA＝2．

所以BF＝BC－CF＝＝．

所以．

另解：也可以根据△BAF∽△BCA先求得BF的长．

由BA²＝BF·BA，得．所以．

图2                                图3

例6         2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，cosC＝，BD是中线，将△CBD沿直线BD翻折，点C落在点E，那么AE的长为_______．

                                                       图1

动感体验

请打开几何画板文件名“16静安青浦18”，可以体验到，四边形BCDE是菱形，四边形AEBD是平行四边形，AE＝BD．

答案  ．思路如下：

如图2，作AM作BC于M，DN⊥BC于N．

在Rt△ACM中，AC＝4，cosC＝，所以CM＝1．所以BC＝2CM＝2．

已知D是AC的中点，所以BC＝DC＝2．

如图3，由BE＝BC，BC＝DC，DC＝DA，得BE＝DA．

由∠1＝∠2，∠1＝∠3，得∠2＝∠3．所以EB//AC．

所以四边形AEBD是平行四边形．所以AE＝BD．

如图2，在Rt△DCN中，DC＝2，CN＝，所以DN＝．

在Rt△DBN中，BN＝，所以BD＝．所以AE＝．

图2                         图3

例7         2016年上海市闵行区中考模拟第18题

如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，tan∠B＝，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为_________．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“16闵行18”，拖动点C绕着对称轴DE旋转到点A，可以体验到，DE垂直平分AC，DC＝DA．

答案  ．思路如下：

如图2，作AH⊥BC于H，那么BH＝CH．

已知tan∠B＝＝，设AH＝1，BH＝3．

设DC＝DA＝m．在Rt△ADH中，由勾股定理，得m²＝1²＋(3－m)²．

解得．所以BD＝BC－DC＝＝．所以．

图2

例8         2016年上海市浦东新区中考模拟第18题

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是___________．

动感体验

请打开几何画板文件名“16浦东18”，拖动点D在AC上运动，可以体验到，当∠CPD为直角时，△CHP∽△PED≌△AED，这三个直角三角形的三边比都是3∶4∶5．

答案  ．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，BC＝15，AC＝20，所以AB＝25，cosB＝，cosA＝．

在Rt△BCH中，BH＝BC·cosB＝＝9．

当∠CPD＝90°时，∠CPH与∠DPE互余．

又因为∠B与∠A互余，∠DPE＝∠A，所以∠CPH＝∠B．

于是可得PH＝BH＝9．所以AP＝25－18＝7．

所以AE＝．所以AD＝AE＝．

图1

例9         2016年上海市普陀区中考模拟第18题

如图1，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和边BC分别交于点E、F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”的面积最大时，点E的坐标是___________．

图1                                  图2

动感体验

请打开几何画板文件名“16普陀18”，拖动点G在AD上运动，可以体验到，△BEF的高AB保持不变，当点G与点D重合时，BF最大，△BEF的面积也最大（如图3，图4所示）．

答案  ．思路如下：

设菱形BFGE的边长为m．

如图4，当G、D重合时，在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝m，AE＝4－m．

由勾股定理，得m²＝2²＋(4－m)²．解得m＝．

此时AE＝4－m＝，点E的坐标为．

图3                            图4

例10           2016年张家界市中考第14题

如图1，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的点E处，EQ与BC相交于F，若AD＝8cm，AB＝6cm，AE＝4cm．则△EBF的周长是        cm．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“16张家界14”，拖动点E绕GH翻折，可以体验到，当点E落在AB边上时，HE＝HD，△AHE∽△BEF．

答案  8．思路如下：

设HE＝HD＝m，那么AH＝8－m．

在Rt△AHE中，由HE²＝AE²＋AH²，得m²＝4²＋(8－m)²．解得m＝5．

所以△AHE的周长为3＋4＋5＝12．

因为△AHE∽△BEF，AH∶BE＝3∶2，根据相似三角形的周长比等于对应边的比，可得△BEF的周长为8．

图2

例11           2016年常德市中考第15题

如图1，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D₁，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D₁AD＝_________．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“16常德15”，拖动点A改变平行四边形ABCD的形状，可以体验到，四边形AECF保持菱形的形状，四边形ACDD₁保持等腰梯形的形状，∠D₁AD与∠DCA、∠BAE保持相等．

答案  55°．思路如下：

如图2，连结FC、DD₁．

因为四边形AECF是菱形，根据中心对称性，∠DCA＝∠BAE．

如图3，因为A与C、D与D₁关于直线EF对称，所以四边形ACDD₁是等腰梯形，所以对角线AD与CD₁交于对称轴上的点F，根据对称性，∠D₁AD＝∠DCA．

图2                               图3

例12           2016年淮安市中考第18题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝3，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF折叠，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是________．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“16淮安18”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，点P的轨迹是以F为圆心，以FC为半径的圆（如图2）．当点F、P、G三点共线时，PG最小（如图3）．

答案  ．思路如下：

如图2，作PG⊥AB于G，作FH⊥AB于H．

在Rt△AFH中，FH＝AF·sin∠A＝＝．

在△PFG中，PF＝2为定值，PF＋PG＞FG．

而FG的最小值是FH，所以PG的最小值是FH－PF＝＝（如图3）．