 我们之前已经说过，矩阵和矩阵相乘的本质是坐标系的线性变换，矩阵和向量相乘的本质是向量的线性变换。 特征值有什么意义？话不多说，让我们开门见山： 我们先看看特征值的定义式：  这个A是矩阵，α是特征向量（向量），λ是一个“数”，这个等式告诉我们，矩阵乘以特征向量等于一个数乘以这个特征向量。然而你现在一头雾水，问我：“这些文字描述太抽象了，我根本看不懂！” 好了，现在有请我们的老朋友出场：  既然说α是特征向量（向量），我们先不管它究竟是干什么的，既然它是一个向量，那它就有向量的性质，对吧？因此，我们不妨把它设为（x，y）：  现在看一下上面那个等式的右半部分，它叫λα，这个很好理解，一个向量乘以某个倍数，说明它是共线的。这个λ无非就是一个倍数而已。我们不知道λ的大小，也把它设成是未知的。  向量共线 好了，我们的铺垫工作已经齐全，现在将上面的矩阵，向量和λ联立起来：  把它展开，可以得知（如果你还不会如何运算，请详细阅读本线性代数系列教程）  于是我们得到两个非线性的方程：  解这些方程：  把x看成常数，用二次求根公式就能得到：  这些结果说明了什么？我们惊奇地发现，λ和x，y的取值无关，同时满足上面方程的y是x的某种线性倍数关系。  我们发现，特征向量就是这个x倍的（1+根号一堆），如何理解呢？如果你任取一个向量（1，2），那么这个向量就不是特征向量，因为它和（1+根号一堆）不成比例。 我们已经知道，矩阵乘以向量无非就是把直角坐标系中的向量放进了斜角坐标系中，它因此被拉扯了，对于特征向量，它从直角坐标系到斜角坐标系，方向并没有改变（只是扩大了整数特征值λ倍）。和这个特征向量不成向量的一般向量进行线性变换是没办法实现这种效果的。 这就是特征值的意义，你了解了吗？ 太复杂了，你的理解也不到位。特征值就是线性方程组的独立变量个数（扣除伪变量），特征向量就是线性方程组的解。 特征值的理解角度本就不止一种，你可以从线性方程组出发，也可以从定义出发，还可以从本征频率出发，还可以从微分方程出发，条条大路通罗马。[机智] 从空间向量变换的角度来理解，对工科应用有帮助得多。 特征值的本质应该是空间的基向量。 讲的好啰嗦。将矩阵看作向量空间的旋转变换算符，特征向量是在此操作下不改变方向的特殊向量，特征值是其拉伸或缩短的幅度。 |
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