几何的历史

“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553-1610）于1607年合译《几何原本》时首次采用“几何”一词。几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代，最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出了一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。

几何学的发展大致经历了4个基本阶段。

1.实验几何的形成与发展

几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述，其源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现有简略几何图案。相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。

然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明，某些计算公式仅是粗略和近似的，直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。

2.理论几何的形成与发展

到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，古埃及的几何知识逐渐传入古希腊并得到巨大的发展。这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。

特别是柏拉图（Plato，公元前427-前347）学派把形式逻辑的思想方法引入几何学，确立了缜密的定义和明晰的公理作为几何学基础，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。

亚里士多德（Aristotle，公元前384-前322）被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。

后来古希腊大数学家欧几里得（Euclid，约公元前330一前275）在前人研究的基础上，按照严密地逻辑公理系统编写成了不朽的巨著《几何原本》13卷，至此理论几何已基本形成。

尽管《几何原本》存在公理不够完善、论证有时借助于直观等不足，但它集古代数学之大成，论证严密，影响深远，所运用的公理化方法为以后的数学发展指出了方向，以至成为整个人类文明发展史上的里程碑、人类文化遗产中的瑰宝。

3.解析几何的产生与发展

公元前3世纪，《几何原本》的出现，为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定的研究，发现了圆锥曲线的许多性质。在后来较长时间里，由于封建社会中神学占有统治地位，科学得不到应有的重视，几何学也一直没有得到突破性的进展。直到16世纪随着欧洲文艺复兴运动的发展，生产实际的需要，自然科学才得到迅速发展。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596-1650）在研究中发现，欧氏几何过分依赖于图形，而代数又完全受公式、法则所左右，他竭力主张几何、代数结合起来取长补短，认为这是促进数学发展的一个新的途径。笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的概念，从而完成了数学史上一项划时代的变革——解析几何产生了。

解析几何学的建立，大大拓广了几何学的研究内容，使研究几何的方法从单纯强调逻辑方法，到强调逻辑方法与代数方法并重，促进了几何学的进一步发展。到18、19世纪，工程、力学和测量等方面的需要，又进一步产生了画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等几何学的分支。

恩格斯把解析几何称为最重要的数学方法之一，高度评价了笛卡儿的革新思想：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生……”

4.现代几何的产生与发展

自《几何原本》诞生之后，人们便不断发现其逻辑上的不严密之处，有些定义模糊不清，或使用了未经定义的概念，因而逐步充实一些新的公理。特别是人们在尝试用其他公理、公设证明第五公设“平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截线的这一侧”失败时，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。

一方面，用和欧氏几何第五公设相矛盾的命题来代替第五公设，从而导致几何学研究的根本突破。俄国数学家罗巴切夫斯基（H.M.o6aueBcKM前，1792-1856）用“在同一平面内，过直线外一点至少可作两条直线平行于已知直线”代替第五公设，由此得出一系列新理论，如“三角形内角和小于二直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等，后人称为罗氏几何学（或双曲几何学）。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学就是前面提到的罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。

那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

而德国数学家黎曼（B.Riemann，1826—1866）用“在同一平面内，过直线外一点不存在直线平行于已知直线”代替第五公设，同样导致了一系列新理论的诞生，如“三角形内角和大于二直角”等结论，后人称为黎曼几何学（或椭圆几何学）。人们习惯上把二者并称为非欧几何学。而把欧氏几何学与非欧几何学的公共部分称为绝对几何学。虽然如此，但人们认为，新几何与我们的现实世界里的空间毫不相干，直到那个时候……

20世纪初，爱因思坦在解决狭义相对论与牛顿万有引力定律的矛盾时，提出了一种新思想。这就是认为，我们生活在其中的现实空间，由于物质具有质量而被弯曲。非欧几何中的黎曼几何正是描述它的良好工具。

后来，这种思想发展为一个完备的理论——广义相对论。由此又可以引出“宇宙大爆炸”模型，彻底改变了我们对时空、宇宙的观念。

霍金说：“世界在上世纪的变化超过了以往任何世纪。原因不是新的经济或政治教义，却是由于基础科学的进步引发技术的巨大发展。还有谁比爱因斯坦更能代表呢？”

另一方面，人们又对欧氏几何公理系统给予充实与完善，形成了完全合乎公理法要求的严格公理体系。这一公理体系是德国数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）于1899年在他的《几何基础》一书中提出，通常称为希尔伯特几何公理体系。

那么，今天的几何学研究的是些什么呢？

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。

如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，这就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。

在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题依赖于测量时所使用的尺度。

如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，这里就要用到分维（分数维度）。

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。

这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。

电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了这个新的数学分支——分形几何学。

还有拓扑学、微分几何等，这些几何分支的纯学术研究和应用，构成了当代几何的内容。从而使得有关时空的观念，人们对其又有了新的理解。

人类一直以来都是认为空间是一个物质运动的舞台，而时间则是像一条河，无休止地流逝。几何学的对象由直的到曲的，后来竟然连背景也是曲的，广相更是让我们改变了时空的观念。现如今，对时空的理解依然是一个新鲜的问题。

附录1

公理化方法：在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。

欧氏几何：几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。

欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。

欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。

数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

黎曼几何：德国数学家黎曼创立，他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。

微分几何学：光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。

在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。

在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。

拓扑学：几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～1868）在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。

射影几何：研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。曾经也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

以上摘自百度百科

附录2：大事纪年表

公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：“古者，陲（注：传说为黄帝或尧时人）为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。这相当于已经有了“圆，方、平、直”等形的概念。

公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。

美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。

公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。

公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。

公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。

古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。

公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理（古希腊 巴门尼德、芝诺等）。

公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。开始把几何命题按科学方式排列。

公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。

古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。

古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。

公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。

公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。

公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组

公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。

公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。

战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。

公元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。

公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。

公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。

公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。

一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。

古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。

三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。

中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。

四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。

约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。

六世纪，中国六朝时，中国的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。

1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。

1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。

1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。

1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。

1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。

1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。

1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。

1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。

意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。

1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。

1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。

1665～1676年，牛顿（1665～1666年）先于莱布尼茨（1673～1676年）制定了微积分，莱布尼茨（1684～1686年）早于牛顿（1704～1736年）发表了微积分。

公元1701～1800年

1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。

1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。

1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。

1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。

1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。

1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。

1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。

1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。

1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。

1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。

1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。

公元1800～1899年

1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》。

1816年，德国的高斯发现非欧几何，但未发表。

1822年，法国的彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。

俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约改变欧几里得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论。

1827～1829年，德国的雅可比、挪威的阿贝尔和法国的勒阿德尔共同确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用。

1827年，德国的高斯建立了微分几何中关于曲面的系统理论。

德国的高斯建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性。

瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形一定是圆。

1851年，德国的黎曼提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明。

1854年，德国的黎曼建立了更广泛的一类非欧几何学——黎曼几何学，并提出多维拓扑流形的概念。

1868年，德国的普吕克在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素。

1881～1884年，美国的吉布斯制定了向量分析。

1881～1886年，法国的彭加勒连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论。

1882年，德国的林德曼证明了圆周率是超越数。

1887～1896年，德国的达布尔出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就。

1892年，俄国的李雅普诺夫建立运动稳定性理论，这是微分方程定性理论研究的重要方面。

1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创代数拓扑学。

1899年，德国希尔伯特的《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响。

公元1900年～1960年

1900年

德国数学家希尔伯特，提出数学尚未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的关注。

1901年

德国数学家希尔伯特，严格证明了狄利克莱原理，开创了变分学的直接方法，在工程技术的级拴问题中有很多应用。

意大利数学家里齐、齐维塔，基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具。

法国数学家勒贝格，提出勒贝格测度和勒贝格积分，推广了长度、面积积分的概念。

1903年

英国数学家贝·罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。

1906年

意大利数学家赛维里，总结了古典代数几何学的研究。

法国数学家弗勒锡、匈牙利数学家里斯，把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源。

德国数学家哈尔托格斯，开始系统研究多个自变量的复变函数理论。

俄国数学家马尔可夫，首次提出“马尔可夫链”的数学模型。

1907年

德国数学家寇贝，证明复变函数论的一个基本原理——黎曼共形映照定理。

美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。

1908年

德国数学家金弗里斯，建立点集拓扑学。

德国数学家策麦罗，提出集合论的公理化系统。

1910年

德国数学家施坦尼茨，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。

美籍荷兰数学家路·布劳威尔，发现不动点原理，后来又发现了维数定理、单纯形逼近法、使代数拓扑成为系统理论。

英国数学家背·罗素、卡·施瓦兹西德，出版《数学原理》三卷，企图把数学归纳到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作。

1913年

法国的厄·加当和德国的韦耳完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。这在量子力学和基本粒子理论中有重要应用。

德国的韦耳研究黎曼面，初步产生了复流形的概念。

1914年

德国的豪斯道夫提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础。

1915年

瑞士美籍德国人爱因斯坦和德国的卡·施瓦茨西德把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题。

1918年

希尔伯特空间理论的形成（匈牙利 里斯）。

1919年

德国的亨赛尔建立P-adic数论，这在代数数论和代数几何中有重要用。

1922年

德国的希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论。

1923年

法国的厄·加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端。

波兰的巴拿哈提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论。

美国的诺·维纳提出无限维空间的一种测度——维纳测度，这对概率论和泛函分析有一定作用。

1928年

德国的格罗许、芬兰的阿尔福斯、苏联的拉甫连捷夫提出拟似共形映照理论，这在工程技术上有一定应用。

1930年

美国的毕尔霍夫建立格论，这是代数学的重要分支，对射影几何、点集论及泛函分析都有应用。

美籍匈牙利人冯·诺伊曼提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学。

1931年

瑞士的德拉姆发现多维流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具。

奥地利的哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。

1933年

匈牙利的奥·哈尔提出拓扑群的不变测度概念。

苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系。

1934年

美国的莫尔斯创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具。

美国的道格拉斯等解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面。

1935年

波兰的霍勒维奇等在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具。

法国的龚贝尔开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论。

1936年

德国寇尼克系统地提出与研究图的理论，美国的贝尔治等对图的理论有很大的发展。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的发展，而得到广泛应用。

现代的代数几何学开始形成。（荷兰 范德凡尔登，法国外耳，美国查里斯基，意大利 培·塞格勒等）

1937年

美国的怀特尼证明微分流形的嵌入定理，这是微分拓扑学的创始。

1938年

布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学（法国 布尔巴基学派）。

1940年

美国的哥德尔证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性。

1945年

美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。

1946年

法国的外耳建立现代代数几何学基础。

中国的华罗庚发展了三角和法研究解析数论。

1950年

美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论。

1952年

美国的蒙哥马利等证明连续群的解析性定理（即希尔伯特第五问题）。