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2020年9月30日：算式之谜——第5周第3天（总第31天） 亮仔好，今天的文章来了，如果你遇到不会做的题，可以参考下边的解题思路。祝你奥数之旅快乐！ 老规矩：下面的干货没有心情调节图。 今天的内容比较多，要11分钟才能阅读完，但如果算上你的理解时间，可能还要长一点，所以得请你静下心来，慢读、细品。 今天的题目和前两天有变化。尽管依旧是竖式的推理尝试，但乘法竖式变成了除法竖式。 第一天的时候，我为你讲解了乘法竖式的运算方法。那么今天我们依旧需要进行前置性学习——除法的竖式运算。你心里也许会犯嘀咕，除法竖式学过了呀！是的，你学过，你在学习有余数的除法的时候学习过。但我今天换个方式来让你感受下除法竖式背后所要传达的意义，而非让你只是记住某个地方只能如何去操作。 前置性是什么意思？就是需要放置在本来要做的某件事情之前进行的内容。 前置性学习——除法的竖式运算 除法是减法的高级版本，在进入的除法的竖式运算时，你会发现，在进行运算的时候，我们不是将两行相邻的数字做加法，而是做减法。与此同时，除法竖式中还会运用到乘法。具体情况如何，我们看下边的例题。 48÷6= 本身这道题很简单，因为它就是用乘法口诀都能做出来的题目。但是为了讲解除法竖式，我们从最简单的做起。 首先回忆下除法的实际意义：除法是为了体现平均分这个重要概念。所以48除以6，它体现的含义是把48平均分成6份，每份里边有几个。按照这个逻辑，如果我们不怕麻烦，再看看减法的逻辑。 48÷6，实际上就是有48个苹果，放六个筐，每个筐里有几个苹果的问题。看下边的表示： 筐1 1、1、1、1、1、1、1、1 筐2 1、1、1、1、1、1、1、1 筐3 1、1、1、1、1、1、1、1 筐4 1、1、1、1、1、1、1、1 筐5 1、1、1、1、1、1、1、1 筐6 1、1、1、1、1、1、1、1 你会发现，依次按照顺序分别从筐1到筐6，放入1个苹果，最后每个筐会有8个，而原本的48已经消失不见了。 用减法算式体现就是：48-8-8-8-8-8-8=0 所以，除法竖式要体现的就是通过平均分，让原本的48要被分配光，让48消失不见了。为什么会不见了？因为48已经变身为6个8了，48本身这个整体概念不存在了。 除法竖式是怎样的呢？看下图。
首先，你会看到有一个像汉字“厂”的符号，有这个符号出现，就表明这个竖式是在做除法运算。没错，你在除法竖式中见不到原来的除号÷。 黑色的48代表被除数，红色的6代表除数，紫色的8代表商，绿色的8代表的是除数和商的乘积，蓝色的0代表的是被除数减去乘积的剩余。当没有剩余存在的时候，就表明48被6除尽了。如果没有除尽，就会产生你之前学习的概念余数。当然了，余数一定比除数小。 现在我们来看更大的数字除以一个一位数的情况： 256÷4=
被除数：256 除数：4 运算过程： 步骤1、2除不了4，所以我们需要再找一位和它挨在一起的帮手——5，构成25。然后用25除4。你会发现除法的运算规则和加减乘的竖式都不相同，它是从高位看起。 步骤2、25÷4，想办法用4的乘法口诀得到25，或者最接近25的数字，但是不能大过25。理由很简单，如果超过了25，就表明这里不是在平均分25，而是在平均分比25还要大的数字。所以，最接近的是4×6=24，这样便得到了绿色的24。但你需要注意，这里的2在百位，4在十位，真实表达的意思是这里已经有240要被你先给分掉了。那240的0去哪里了呢？为了运算的方便，这个0已经被我们给忽略了。 步骤3、25减去24，表明256中已经有240被分配掉了。所以剩下了1，这个1表面上看是个位数1，但实际上因为是十位减十位，所以这个1真实的含义是1个10。同时，因为256中的6被轮空，所以这时候把6挪下来，真实的含义是6-0=6，所谓的0就是步骤2中所提到的被忽略的240的那个0。所以我们得到了蓝色的16。 步骤4、16又要被4进行平均分，能够分解完或者最接近的数字当然是4×4=16里边的4。所以，我们在除号上方的个位处填写4，然后在蓝色16的下方新写上除数4和商的4的乘积，然后做减法。 步骤5、当我们得到的差是0的时候，就表明256被我们给平均分光了。所以最后的答案是64。 这便是除法竖式中多位数除以一位数的运算过程。今天讲的这个前置内容的复杂版本会在周五的题目中遇到。先卖个关子，到时候你就知道了。 例题、下面算式中的□里填哪些数字，可使这道除法算式成立？
解析： 步骤1、拿到这种填空竖式，首先需要明确的是哪些地方给了数字。这些给出的数字就是我们破解题目的题眼。题目中一共有3个数字，分别是6，5和0。 步骤2、因为被除数完全不知道，所以我们没有办法用常规除法从高位计算的方法进行推理。给出的数字只能让我们进行反向推理。 步骤3、通过除法竖式的运算规则，我们可以知道，5是商的个位，6是除数，0是两部分内容的差（商的十位与6的乘积减去5和6的乘积）。所以，5和6的乘积需要写在最下边横下的上边。如果想让一个数减去30等于0，这个数智能也是30，所以最下边横线上边的两行其实都是30。具体见下图：
步骤4、如果想要出现黑色的30，0只能来自于被除数的个位，因为被除数下方只在十位对应处有数字，个位处没有，这表明个位的地方被轮空了，那么被除数的个位是多少，就会自动进入黑色30的个位处。具体见下图：
步骤5、再来往上移动，来关注商的十位的数字填法。因为除数是6，按照乘法口诀来看，1×6=6，2×6=12，后边已经不用列了。为什么？因为商的十位要填入的数字必须保证和6的乘积只能是一位数，因为竖式中所给出的乘积位只有一个格子。在商的十位处，能满足条件的只能是1。具体见下图：
步骤6、现在只差被除数的十位了。按照除法竖式的规则，被除数的十位减去1与6的乘积才能得到3，这体现的是分配完的要减去的思想。这是正向思维，现在我们要逆向思考。减法的逆向一定是加法，所以□-6=3，自然3+6=□，所以□内要填入的是9。具体见下图：
怎么样？看起来复杂，其实你找到了突破口，借助学习过的方法和技巧，你是可以搞定的！！ 习题、在□里填上合适的数字，使算式成立。 1、
解析： 步骤1、观察给出的数字，4是除数，8是两位数商的个位，所以它们两可以做乘法得到32，并且32应该写在下图位置：
步骤2、因为竖式最下边是0，而32只有减32才能得到0，所以32下边的两个□填入的也是32。如下图：
步骤3、因为黑色的32中的2是轮空得到的，这就表明被除数的个位应该是2。如下图：
步骤4、因为被除数的十位数减去的是一个单数，这就表明，商的十位数和除数4的乘积必须是一位数，否则无法实现一个单数的可能。思考关于4的乘法口诀：1×4=4，2×4=8，3×4=12，好了，说明我们只能考虑前两种可能，也就是说，商的十位数要么是1，要么是2。 步骤5、既然是1和4都有可能，那就需要进行试错。先尝试给商的十位数放1，那么一个单数的位置就会是4。逆向计算，3+4=7，所以被除数的十位数是7。通过测试，发现没有问题。具体见下图：
步骤6、那有没有可能是2呢？我们说，没有这个可能。理由如下：如果商的十位数是2，就会有2×4=8，什么数减8=3呢？只有11才能做到。可被除数的位置只给了1个空，说明只能填入一个数字。所以2的可能就被否定了。 思路小结： 这种除法竖式填空的题目，有一定的做题技巧，我来把刚才没有提炼出来的东西再做下说明，这样也方便下边题目的思路梳理： 1、如果一个除法竖式，给了我们除数，商的个位数，我们一定是从下往上进行逆向运算； 2、如果一个除法竖式，给了我们除数，商的十位数，我们需要从上往下进行正向运算。理由很简单，如果商的个位数不知道，我们是没有办法推断出下边可以相互减为0的数字究竟是什么。 第二题的思路和上边的第一题是一样的，所以就略过了。 我们直接来看第三题。 3、
解析： 步骤1、喏，你看，这道题就是刚才我们说的第二种情况——正向运算。因为它给出的数字有除数6，商的十位1，商的十位和除数的乘积6，以及最后的0。这种情况，我们需要在脑子里快速明确运算顺序究竟是正向还是逆向。 步骤2、这时候，你有可能会有些吃不准，到底该在被除数的十位上填几。吃不准的时候，你可以使用的方法就是大胆都试试。反正就是□-6能成功就行。所以，用这个原则，我们可以推测出来，被除数的十位数位置可以填入的数字比6大，但最大只能到9。为什么不能是6呢？因为如果是6的话，6-6=0，可下边明明是两位数，所以肯定需要有多余出来的差。为什么不能超过9呢？因为被除数只是两位数，我们能在十位数位置填入的最大的数字只能到9。 步骤3、所以，我们针对可以选用的7，8，9三种情况，做分别讨论就行。 步骤4、先讨论第一种情况，被除数的十位数是7，如果是7，那么7-6=1，会看到下图信息：
接下来的问题就变得简单了，被除数个位数开始，从上到下的三个数字肯定是一样的。因为被除数个位数字在第一轮运算的时候被轮空了，所以会自动进入下边的运算。那思考起来就容易了：商的个位数×6刚好可以等于十几。算式形式为：□×6=1□。我们知道6的乘法口诀中，有2×6=12，3×6=18，再大就不行了。所以，会有两种情况出现：
步骤5、接着，我们来尝试被除数十位数为8的情况。如果填入的是8，那么8-6=2，竖式会变成下图的样子：
你会发现，后边的思路是一样的，我们要做的事情就是几乘以6等于二十几的问题，算式是：□×6=2□。在6的乘法口诀中，可以是20多的数字算式只有4×6=24一种，所以可以推断出来商的个位数是4，被除数的个位数是4。具体看下图：
步骤6、最后在被除数十位数要考虑的情况是9。如果填入的是9，那么9-6=3，竖式会变成下图的样子：
这样一来，问题就变成了□×6=3□的问题，关于6的乘法口诀中有5×6=30，6×6=36两种情况。所以，被除数的个位是可以是0或6，商的个位可以是5或6，下边的两个空都是0或6。具体看下图：
所以，这道题并不是只能填入唯一的答案，而是有五种答案可以填写。来，整体看一看最终效果：
小子，数学的学习思路、规则是固定的，但是做题是灵活的，别把自己的思路给固定死了。 另外，今天的这最后一题和明天的例题解题思路是一样、一样、一样的。今天领悟得多一点，明天会轻松不少。 数学可以玩着学，它不是一句空话，而是真的有实打实的方法！！ 还想聊点什么？加我私信，主厨陪你聊！！ 还想了解更多本公众号？扫描下方二维码即可。当然，如果你是看公众号的老手，开头标题下方的蓝色字体点进去，效果是一样一样一样的。 |
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