专题01 有理数
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 有理数基础概念
n 有理数（概念理解）
正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）
n 数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
ü 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
任何有理数都可以用数轴上的点表示。
ü 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【注意】
1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
n 相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
n 绝对值
绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。）
n 比较大小
1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法（重点）
有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
4.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
即
；
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
即
。
n 有理数的减法
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即
。
注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数
的倒数是
）
多个有理数相乘的法则及规律：
（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
n 有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即
。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即
。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即
。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即
。
（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。
（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律
知识点三 有理数的乘方
n 乘方（重点）
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：
1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。
2. 计算结果的绝对值。
n 有理数的混合运算
运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算,从左到右进行；
（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
n 科学记数法
把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）
把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
【考查题型】
考查题型一 有理数概念理解
【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例1．（西安一模）在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【提示】根据有理数的定义，即可解答．
【详解】在，，1.62，0四个数中，有理数为，1.62，0，共3个，故选：B．
变式1-1．（南京市模拟）设 a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a，b，c 三个数的和为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．不存在
【答案】A
【提示】先根据题意得到a、b、c的值，再相加即可得到结果.
【详解】解：由题意得a=0,b=-1，c=0，则a+b+c=-1，
故选A.
变式1-2．（滨州市期末）在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断．
【详解】
解：∵＝3，＝4，
∴，，，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．
有理数有4个.
故选：D．
考查题型二 用数轴上的点表示有理数
【解题思路】在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
典例2．（兴化市模拟）如图，数轴上两点A,B表示的数互为相反数，则点B表示的（
）
A．-6 B．6 C．0 D．无法确定
【答案】B
【解析】－6的相反数是6，A点表示－6，所以，B点表示6.故选答案B.
变式2-1．（三门峡市模拟）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．－1
【答案】D
【提示】直接利用数轴得出结果即可．
【详解】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1，故选D．
【点睛】
本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
变式2-2．（福建中考真题）如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【提示】根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3。故选：C
【点睛】
本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．
考查题型三 求一个数的相反数
【解题思路】理解相反数的概念
典例3．（吉林中考真题）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．6 D．
【答案】C
【提示】根据相反数的定义，即可解答．
【详解】−6的相反数是：6，故选C.
变式3-1．（杭州市模拟）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有B答案正确．故选B．
变式3-2．（山东滨州市·中考真题）下列式子中，正确的是（ ）
A．|﹣5|=﹣5 B．﹣|﹣5|=5
C．﹣（﹣5）=﹣5 D．﹣（﹣5）=5
【答案】D
【解析】
试题解析：A. |﹣5|=5，故原选项错误；
B. ﹣|﹣5|=-5，故原选项错误；
C. ﹣（﹣5）=5，故原选项错误；
D. ﹣（﹣5）=5，故正确.
故选D.
考查题型四 求一个数的绝对值
【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
典例4．（甘肃兰州市·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B．2020 C． D．
【答案】B
【提示】根据绝对值的定义直接解答．
【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|＝2020，故选：B．
变式4-1．（河北模拟）的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【提示】根据绝对值的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】解：．故选：B．
变式4-2．（北碚区模拟）已知，，且，则的值为（ ）
A．1或7 B．1或-7 C．±1 D．±7
【答案】D
【提示】根据绝对值的意义，结合，求出a、b的值，然后即可得到答案．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，或，；
∴；
或；
∴；
故选：D．
考查题型五 有理数比较大小
【解题思路】理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小。
典例5．（河北模拟）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2
【答案】B
【提示】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，
∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．
故选B．
变式5-1．（江西南昌市模拟）有理数，在数轴上所对应的点的位置如图，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据相反数的定义大致标出和的位置,再根据数轴上右边的数总大于左边的数来逐一判断即可.
【详解】解:在数轴上大致标出和的位置,如下图,
可得,故A项错误;
,故B项错误;
,故C项错误;
,故D项正确.
故选:D.
变式5-2．（沈阳市模拟）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【解析】∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．
考查题型六 有理数的加减乘除混合运算
【解题思路】针对有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键．
典例6．（新疆中考真题）计算：．
【答案】
【详解】
解：
变式6-1．（广西中考真题）计算：．
【答案】-5
【详解】
．
变式7-2．（浙江模拟）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）8；（2）-44；（3）；（4）
【提示】
（1）根据有理数的减法法则和加法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可；
（3）根据乘法分配律和各个运算法则计算即可；
（4）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=8
（2）
=
=
=
=-44
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=
考查题型七 科学记数法
【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
典例7．（甘肃兰州市中考真题）据发布年度中国共享经济发展报告显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得亿元投资，数据亿元用科学记数法可表示为
A．元
B．元
B．C．元 D．元
【答案】C
【详解】亿=115956000000，所以亿用科学记数法表示为1.15956×1011，
故选C．
变式7-1．（北京中考真题）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：36000=，故选：C．
变式7-2．（山东济南市·中考真题）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107
C．2.15×106 D．21.5×106
【答案】B
【详解】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，故选：B．
