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专题26 矩形与正方形 【知识要点】 知识点一 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质： 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的面积公式： 面积=长×宽 知识点二 正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 正方形的判定： 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【考查题型】
考查题型一探索矩形的性质 典例1．（甘肃兰州市·中考真题）如图，矩形ABCD中，
A． 【答案】C 【提示】如图，过点D作 【详解】如图所示：过点D作
设 在 故选C． 变式1-1．（贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，将矩形纸条
A．30° B．45° C．74° D．75° 【答案】D 【提示】依据平行线的性质，即可得到 【详解】解：∵矩形纸条 ∴ ∴ 由折叠可得， 故选：D． 变式1-2．（贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形
A． 【答案】D 【提示】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB， ∵ ∴AC= ∴BD=10cm， ∴ ∵点 ∴ 故选：D． 变式1-3．（海南中考真题）如图，在矩形
A． 【答案】C 【提示】过G作GN⊥BC于N，交EF于Q，同样也垂直于DA，利用相似三角形的性质可求出NG，GQ，以及EF的长，再利用三角形的面积公式可求出△BCG和△EFG的面积，用矩形ABCD的面积减去△BCG的面积减去△EFG的面积，即可求阴影部分面积． 【详解】解：过作GN⊥BC于N，交EF于Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，AD=BC， ∴△EFG∽△CBG， ∵ ∴EF：BC=1：2， ∴GN：GQ=BC：EF=2：1， 又∵NQ=CD=6， ∴GN=4，GQ=2， ∴S△BCG= ∴S△EFG= ∵S矩形BCDA=6×10=60， ∴S阴影=60-20-5=35． 故选：C．
考查题型二 考查直角三角形斜边中线计算问题 典例2．（江苏盐城市·中考真题）如图，在菱形
A． 【答案】B 【提示】 因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 【详解】 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∴△BOC是直角三角形 ∴ ∴BC=5 ∵H为BC中点 ∴ 故最后答案为 变式2-1．（浙江宁波市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【提示】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF= 【详解】 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ 又∵CD为中线， ∴CD＝ ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝ 故选：B． 变式2-2（四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【提示】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， 变式2-3．（黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，菱形
A． 【答案】A 【提示】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= ∴BD=8， ∵DH⊥AB，BO=DO=4， ∴OH= 故选：A． 考查题型三 证明四边形是矩形 典例3．（四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【提示】 （1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论． 【详解】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEB， ∴ （2）证明：∵ ∴AF=BD， ∵D是线段BC的中点， ∴BD=CD， ∴AF=CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB=AC， ∴ ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF为矩形． 变式3-1．（北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2. 【提示】 (1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE= 【详解】 解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE= ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 变式3-2．（山东聊城市·中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】见解析 【提示】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∵E为BC的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形ABFC是平行四边形
∴平行四边形ABFC是矩形． 考查题型四 矩形性质与判定的综合 典例4．（河北承德市·九年级二模）如图，在
A．35° B．40° C．45° D．55° 【答案】A 【提示】由在 【详解】解：在 ∵ ∴AC=BD ∵在 ∴ 所以∠DAB=90° ∵ ∴ 故选A 变式4-1（北京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A． 【答案】B 【提示】根据S△ABE= 【详解】如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90° 在Rt△ADE中，AE= ∵S△ABE= ∴BF= 故选B． 变式4-2．如图，在矩形
A．1 B． 【答案】B 【提示】连接 【详解】如图：连接 ∵四边形 ∴ ∵ ∴ 设 在 解得： 即
故选B． 变式4-3．（安徽芜湖市模拟）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【答案】D 【提示】过点E作EG⊥AD于G，证四边形ABEG是矩形，得出EG=AB，平行四边形AEDF的面积=2△ADE的面积=2× 【详解】解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示： 则∠AGE=90°， 变式4-4．（石家庄市模拟）如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（ ）
A．24 【答案】A 【提示】 过C作CH⊥AB于H，推出四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形，求得∠BCH＝30°，设BC＝x，则CD＝12﹣x，得到AH＝12﹣x，BH＝ 【详解】 解：过C作CH⊥AB于H，
∵AB⊥AD，CD⊥AD， ∴∠A＝∠ADC＝∠AHC＝90°，CD∥AB， ∴四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形， ∴∠DCH＝90°，CD＝AH， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCH＝30°， 设BC＝x，则CD＝12﹣x， ∴AH＝12﹣x，BH＝ ∴四边形ABCD的面积＝ ∴四边形ABCD的面积＝﹣ ∴当x＝8时，四边形ABCD的面积有最大值24 即四边形ABCD的面积可能是24 故选：A． 考查题型五 探索正方形的性质 典例5．（湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，正方形
A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【提示】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时 【详解】连接ED交AC于一点F，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BF=DF， ∴ ∵正方形 ∴AD=AB=4，∠DAB=90°， ∵点 ∴AE=3， ∴DE= ∴ 故选：B.
变式5-1．（天津中考真题）如图，四边形
A． 【答案】D 【提示】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可． 【详解】解：∵O，D两点的坐标分别是 ∴OD＝6， ∵四边形 ∴OB⊥BC，OB=BC=6 ∴C点的坐标为： 故选：D． 变式5-2．（山东烟台市·中考真题）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． 【答案】D 【提示】 先求出最小的等腰直角三角形的面积＝ 【详解】 解：最小的等腰直角三角形的面积＝ A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意； B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意； C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意； D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意； 故选：D． 变式5-3．（广东中考真题）如图，在正方形
A．1 B． 【答案】D 【提示】 由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt△AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴∠EFD=∠FEB=60°， 由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°， ∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°， ∴∠AB’E=30°， 设AE=x,则BE=B’E=2x， ∴AB=AE+BE=3x=3， ∴x=1， ∴BE=2x=2， 故选：D． 考查题型六 证明四边形是正方形 典例6．（上海中考真题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【提示】 （1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形； （2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180× 【详解】 （1）在△ADE与△CDE中，
∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180× ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形． 变式6-1．（太仓市模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
(1) 求证：CF＝AD； (2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形，理由见解析． 【提示】 (1)根据CF∥AB可得∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，根据E为中点可得CE=DE，则△ECF和△DEA全等，从而得出答案； (2)根据AD=BD，则CF=BD，CF∥BD得出平行四边形，根据CD为AB边上的中线，CA=CB得出∠BDC=90°得出矩形，根据CD为等腰直角△ABC斜边上的中线得出CD=BD，即得到正方形． 【详解】 解：(1)∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，∵E为CD的中点，∴CE＝DE， ∴△ECF≌△DEA(AAS)， ∴CF＝AD， (2)四边形CDBF为正方形，理由为： ∵AD＝BD， ∴CF＝BD； ∵CF＝BD，CF∥BD，∴四边形CDBF为平行四边形， ∵CA＝CB，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°， ∴四边形CDBF为矩形， ∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线， ∴CD＝ 变式6-2．（山东省青岛模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF． （1）求证：△BDF≌△CDE； （2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）当DE＝ 【提示】 （1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BF=CE，DE=DF，推出四边形BECF是平行四边形，得到四边形BECF是菱形，于是得到结论． 【详解】 （1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵BF∥EC， ∴∠DBF＝∠DCE， ∵∠BDF＝∠CDE， ∴△BDF≌△CDE（ASA）； （2）解：当DE＝ 理由：∵△BDF≌△CDE， ∴BF＝CE，DE＝DF， ∵BF∥CE， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是中线， ∴四边形BECF是菱形， ∵DE＝ ∴EF＝BC， ∴四边形BECF是正方形 考查题型七 正方形性质与判定的综合 典例7．（内蒙古九年级一模）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF＝EF②BF＝
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【提示】 利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF、AF的长，再利用相似三角形的性质求出 【详解】 ∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， ∵DE＝BG， ∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确， ∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1， ∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x， 在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12， 解得x＝ ∴BF＝ 故②、③正确， ∴ ∵△AFE≌△AFG， ∴ 故选C． 变式7-1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且
A．1 B． 【答案】C 【解析】 提示：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°， ∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°． 在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4． ∵正方形的边长为4，∴BD= ∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形． ∴EF= 变式7-2．（广东深圳市·中考模拟）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．14 【答案】A 【解析】 如图，易证△ABC≌△CDE，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=1+3=4．
解：在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE，∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3， 同理可证FG2+LK2=HL2=1， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4． 故答案为A． |
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C
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C
C
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BE=
