2019年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）
1．（4分）（2019?永州）的绝对值为
A． B． C． D．2
2．（4分）（2019?永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019?永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是
A． B． C． D．
4．（4分）（2019?永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
A． B．
C． D．
5．（4分）（2019?永州）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）（2019?永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，．若该组数据的中位数是3，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（4分）（2019?永州）下列说法正确的是
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
8．（4分）（2019?永州）如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为
A．40 B．24 C．20 D．15
9．（4分）（2019?永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（4分）（2019?永州）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
．
12．（4分）（2019?永州）方程的解为 ．
13．（4分）（2019?永州）使代数式有意义的取值范围是 ．
14．（4分）（2019?永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．
15．（4分）（2019?永州）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则 ．
16．（4分）（2019?永州）如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，过点作，交于点．设三角形，四边形的面积分别为，，则 ．
17．（4分）（2019?永州）如图，直线与双曲线交于，两点，过作直线轴，垂足为，则以为直径的圆与直线的交点坐标是 ．
18．（4分）（2019?永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按的升幂排列得：．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
．
20．（8分）（2019?永州）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）（2019?永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为400米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高．（可能用到的数据：，
22．（10分）（2019?永州）在一段长为1000的笔直道路上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距点的距离（米与其出发的时间（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达点后立即按原速返回．
（1）当为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
23．（10分）（2019?永州）如图，已知是的外接圆，且为的直径，在劣弧上取一点，使，将沿对折，得到，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，劣弧的弧长为，求的半径．
24．（10分）（2019?永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
25．（12分）（2019?永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．
（1）请补全该条形统计图；
（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
26．（12分）（2019?永州）（1）如图1，在平行四边形中，，，，将平行四边形分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图所示剪开，恰好能拼成如图所示的矩形，则的值是多少？
（3）四边形是一个长为7，宽为5的矩形（面积为，若把它按如图所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
2019年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）
的绝对值为
A． B． C． D．2
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：的绝对值为：2．
故选：．
2．（4分）（2019?永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
3．（4分）（2019?永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为，
故选：．
4．（4分）（2019?永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．
【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．
故选：．
5．（4分）（2019?永州）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式不能合并，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式不能合并，不符合题意，
故选：．
6．（4分）（2019?永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，．若该组数据的中位数是3，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，共有6个数，最中间的数只能为和4，然后根据它们的中位数为3，即可求出的值．
【解答】解：数据1，4，3，2，4，中共有6个数，
该组数据的中位数是3，
解得．
故选：．
7．（4分）（2019?永州）下列说法正确的是
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
【分析】根据去全等三角形的判定方法得出不正确；由矩形的判定方法得出不正确；由补角的定义得出不正确；由点到直线的距离的定义得出正确；即可得出结论．
【解答】解：．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；
．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；
．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于；不正确；
．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；
故选：．
8．（4分）（2019?永州）如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为
A．40 B．24 C．20 D．15
【分析】根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积，
故选：．
9．（4分）（2019?永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为：；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为：；
③设在丙处建总仓库，则运费最少为：；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：；
进行比较运费最少的即可．
【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，
设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，
各基地之间的距离之比，
设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米，
设运输的运费每吨为元千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：；
②设在乙处建总仓库，
，，
，
则运费最少为：；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：．
10．（4分）（2019?永州）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，然后分别取，0，，得出整数解的个数，即可求解．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有解，
，
解得，
如果，则不等式组的解集为，整数解为，有1个；
如果，则不等式组的解集为，整数解为，2，有2个；
如果，则不等式组的解集为，整数解为，1，2，3，有4个；
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
．
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
【解答】解：．
故答案为：．
12．（4分）（2019?永州）方程的解为 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
13．（4分）（2019?永州）使代数式有意义的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解：代数式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
14．（4分）（2019?永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 乙 ．
【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：甲同学的平均数是：（分，
甲同学的方差是：，
乙同学的平均数是：（分，
乙同学的方差是：，
，方差小的为乙，
成绩较好且比较稳定的同学是乙．
故答案为：乙．
15．（4分）（2019?永州）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则 4 ．
【分析】过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解．
【解答】解：过点作，垂足为，如图所示．
是的平分线，
．
在中，，，
，即．
在中，，，
．
故答案为：4．
16．（4分）（2019?永州）如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，过点作，交于点．设三角形，四边形的面积分别为，，则 ．
【分析】由三角形的重心定理得出，得出，由平行线得出，得出，即可得出结果．
【解答】解：点是的重心，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
17．（4分）（2019?永州）如图，直线与双曲线交于，两点，过作直线轴，垂足为，则以为直径的圆与直线的交点坐标是 和 ．
【分析】求得交点、的坐标，即可求得直径的长度和点的坐标，从而求得的长度，利用勾股定理求得，结合的坐标即可求得以为直径的圆与直线的交点坐标．
【解答】解：由求得或，
，，
，
设的中点为，以为直径的与直线的交点为、，
过点作轴于，交于，连接，
是的中点，
，，
，
轴，垂足为，
轴，
，
，
在中，，
，．
以为直径的圆与直线的交点坐标是和，
故答案为和．
18．（4分）（2019?永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按的升幂排列得：．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若，则 105 ；
（2）若，则 ．
【分析】（1）根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数为前14个数的和；
（2）根据的特殊值代入要解答，即把代入时，得到结论．
【解答】解：（1）由图2知：的第三项系数为0，
的第三项的系数为：1，
的第三项的系数为：，
的第三项的系数为：，
发现的第三项系数为：；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
，则．
故答案为：105；
（2）．
当时，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
20．（8分）（2019?永州）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
21．（8分）（2019?永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为400米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高．（可能用到的数据：，
【分析】设，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．
【解答】解：设，
由题意可知：，，
，
，
在中，
，
，
解得：，
山高为546.4米
22．（10分）（2019?永州）在一段长为1000的笔直道路上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距点的距离（米与其出发的时间（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达点后立即按原速返回．
（1）当为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当为何值时，两人第一次相遇；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．
【解答】解：（1）甲的速度为：米分钟，
令，
解得，，
答：当为0.75分钟时，两人第一次相遇；
（2）当时，
乙行驶的路程为：，
甲乙第二次相遇的时间为：（分钟），
则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：（米，
答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．
23．（10分）（2019?永州）如图，已知是的外接圆，且为的直径，在劣弧上取一点，使，将沿对折，得到，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，劣弧的弧长为，求的半径．
【分析】（1）在中，根据三角形内角和为，则，即可求解；
（2）证明四边形为矩形，，而，则，即，即可求解．
【解答】解：（1），，
设：，，
则中，根据三角形内角和为，
，
，
是的切线；
（2）过点作，延长交于点，
则，四边形为矩形，
设：，则，
则，而，
则，，
为等边三角形，即，
，
解得：，
故圆的半径为3．
24．（10分）（2019?永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【分析】（1）因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线且经过点
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点
设抛物线的解析式为
即：
把代入得：
抛物线的解析式为：．
（2）设直线的解析式为，
，，
，
直线为，
作轴于，交直线于，
设，则，
，
．
当时，，，
的面积的最大值为，此时点的坐标为，
25．（12分）（2019?永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．
（1）请补全该条形统计图；
（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
【分析】（1）共抽查100台机器，更换8个零件的有20台，更换9个零件的有50台，更换11个零件的有20台，可以计算出更换10个零件的有台，进而补全统计图；
（2）①用样本的频数估计总体的概率，即求出抽查的100台机器中更换9个零件的频率即可；
②利用加权平均数计算各种情况下的花费，比较得出答案．
【解答】解：（1），补全的条形统计图如图所示：
（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：；
②购买机器的同时购买8个该易损零件元，
购买机器的同时购买9个该易损零件元，
购买机器的同时购买10个该易损零件元，
购买机器的同时购买11个该易损零件元，
因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．
26．（12分）（2019?永州）（1）如图1，在平行四边形中，，，，将平行四边形分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图所示剪开，恰好能拼成如图所示的矩形，则的值是多少？
（3）四边形是一个长为7，宽为5的矩形（面积为，若把它按如图所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
【分析】（1）过作于，将进行平移即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）依题意有
，
解得，（负值舍去），
经检验，是原方程的解．
故的值是；
（3），
直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，
故重新拼成的图形的面积会增加．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/8/28 16:55:10；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
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