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| 2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷 |
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2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）（2019?沈阳）的相反数是
A．5 B． C． D．
2．（2分）（2019?沈阳）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税以上，将数据6500用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（2分）（2019?沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是
A． B．
C． D．
4．（2分）（2019?沈阳）下列说法正确的是
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
5．（2分）（2019?沈阳）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
6．（2分）（2019?沈阳）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄（岁 12 13 14 15 16 人数 3 1 2 5 1 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是
A．15岁和14岁 B．15岁和15岁 C．15岁和14.5岁 D．14岁和15岁
7．（2分）（2019?沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是
A． B． C． D．
8．（2分）（2019?沈阳）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围
是
A． B． C． D．
9．（2分）（2019?沈阳）如图，是的直径，点和点是上位于直径两侧的点，连接，，，，若的半径是13，，则的值是
A． B． C． D．
10．（2分）（2019?沈阳）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019?沈阳）因式分解： ．
12．（3分）（2019?沈阳）二元一次方程组的解是 ．
13．（3分）（2019?沈阳）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 个白球．
14．（3分）（2019?沈阳）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若，则四边形的周长是 ．
15．（3分）（2019?沈阳）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，，则的面积是 ．
16．（3分）（2019?沈阳）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
．
18．（8分）（2019?沈阳）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．
19．（8分）（2019?沈阳）如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，则的面积是 ．
四、（每小题8分，共16分）
小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中的值是 ，类别所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．（8分）（2019?沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
五、（本题10分）
是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的半径是 ．
六、（本题10分）
交轴于点，交轴于点．
（1）的值是 ；
（2）点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
①如图，点为线段的中点，且四边形是平行四边形时，求的周长；
②当平行于轴，平行于轴时，连接，若的面积为，请直接写出点的坐标．
七、（本题12分）
（1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得米，那么，间的距离是 米．
思维探索：
（2）在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．
①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当时，若，，请直接写出的值．
八、（本题12分）
与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线经过点和点，点是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）在轴上取点，连接，，当四边形的面积是7时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，直线上存在两点，（点在点的上方），且，动点从点出发，沿的路线运动到终点，当点的运动路程最短时，请直接写出此时点的坐标．
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
的相反数是
A．5 B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：的相反数是5，
故选：．
2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税以上，将数据6500用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：，
故选：．
3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．
故选：．
4．（2分）下列说法正确的是
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
【分析】根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：、，，，乙组数据较稳定，故本选项正确；
、明天降雨的概率是表示降雨的可能性，故此选项错误；
、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；
、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；
故选：．
5．（2分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．
【解答】解：，不是同类项，不能合并，故错误；
．，正确；
．，故错误；
．，故错误．
故选：．
6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄（岁 12 13 14 15 16 人数 3 1 2 5 1 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是
A．15岁和14岁 B．15岁和15岁 C．15岁和14.5岁 D．14岁和15岁
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是145
12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数，因而中位数是14.5．
故选：．
7．（2分）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是
A． B． C． D．
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．
【解答】解：△，和是它们的对应中线，，，
与△的周长比．
故选：．
8．（2分）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的增减性确定有关的不等式，求解即可．
【解答】解：观察图象知：随的增大而减小，
，
解得：，
故选：．
9．（2分）如图，是的直径，点和点是上位于直径两侧的点，连接，，，，若的半径是13，，则的值是
A． B． C． D．
【分析】首先利用直径所对的圆周角为得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得边的长，然后求得的正弦即可求得答案．
【解答】解：是直径，
，
的半径是13，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选：．
10．（2分）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】由图可知，与轴的交点，对称轴，函数与轴有两个不同的交点，当时，；
【解答】解：由图可知，与轴的交点，对称轴，
；
，错误；
由图象可知，函数与轴有两个不同的交点，△，错误；
当时，，
，错误；
，正确；
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）
．
【分析】先提取公因式，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．
【解答】解：，
，
．
12．（3分）二元一次方程组的解是 ．
【分析】通过观察可以看出的系数互为相反数，故①②可以消去，解得的值，再把的值代入①或②，都可以求出的值．
【解答】解：，
①②得：，
解得，
把代入②中得：，
解得，
所以原方程组的解为．
故答案为．
13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 3 个白球．
【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
【解答】解：由题意可得，红球的概率为．则白球的概率为，
这个口袋中白球的个数：（个，
故答案为3．
14．（3分）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若，则四边形的周长是 ．
【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形的各边长，从而求得周长．
【解答】证明：、是和的中点，
，
同理，
．
四边形的周长是：．
故答案为：．
15．（3分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，，则的面积是 ．
【分析】把点，代入和可求出、的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【解答】解：（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，
，，
，，
正比例函数为，反比例函数为：，
点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
，
，
，
．
，
故答案为．
16．（3分）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 ．
【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再证明，可得，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作于．
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
．
【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率；
（2）列表如下：
由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数为6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率为．
19．（8分）如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，则的面积是 24 ．
【分析】（1）根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：24．
四、（每小题8分，共16分）
小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中的值是 ，类别所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【分析】（1）本次共调查了（人；
（2）类人数：（人，类人数：（人，根据此信息补全条形统计图即可；
（3），即，类别所对应的扇形圆心角的度数；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．（名．
【解答】解：（1）本次共调查了（人，
故答案为50；
（2）类人数：（人，
类人数：（人，
（3），即，
类别所对应的扇形圆心角的度数，
故答案为32，57.6；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
（名，
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙中树苗棵，根据题意得：
，
解得：，
是正整数，
最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
五、（本题10分）
是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的半径是 5 ．
【分析】（1）连接，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可证得结论；
（2）连接，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径，从而求得半径．
【解答】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
．；
（2）解：连接，
在中，，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，即，
，
的半径是5，
故答案为5．
六、（本题10分）
交轴于点，交轴于点．
（1）的值是 ；
（2）点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
①如图，点为线段的中点，且四边形是平行四边形时，求的周长；
②当平行于轴，平行于轴时，连接，若的面积为，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，由平行四边形的性质结合点为的中点可得出是的中位线，结合点的坐标可得出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出的周长；
②设点的坐标为，则，，利用三角形的面积公式结合的面积为可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将代入，得：，
解得：．
故答案为：．
（2）①由（1）可知直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
．
点为的中点，
．
点的坐标为，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，．
在中，，，，
，
．
②设点的坐标为，则，，
，
或．
方程无解；
解方程，得：，，
点的坐标为或．
七、（本题12分）
（1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得米，那么，间的距离是 200 米．
思维探索：
（2）在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．
①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当时，若，，请直接写出的值．
【分析】（1）由由，可得，根据即可证明，即可得，即可解题．
（2）①延长交于，易证可得是等腰直角三角形，即可证明，．
②作，交延长线于点，连接、，易证，结合已知得，再证明，可得是等腰直角三角形，即可证明，．
③作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于点，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为，得，同②可证可得，，再由已知解三角形得，即可求出．
【解答】（1）解：，，
在和中，
，
，
．
米．
米，
故答案为：200．
（2）①与的数量关系和位置关系分别是，．
理由如下：如解图1，延长交于，
同（1）理，可知，
，，
又，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，．
②与的数量关系和位置关系分别是，．
理由如下：如解图2，作，交延长线于点，连接、，
同①理，可知，
，，
，
，
当时，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，．
③如解图2，作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于点，
当时，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为，
同②可得，
同②是等腰直角三角形，，，
在中，，，
，，
又，
，
．
八、（本题12分）
与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线经过点和点，点是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）在轴上取点，连接，，当四边形的面积是7时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，直线上存在两点，（点在点的上方），且，动点从点出发，沿的路线运动到终点，当点的运动路程最短时，请直接写出此时点的坐标．
【分析】（1）将点、的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）过点作，过作点直线的对称点，连接交直线于点，此时，点运动的路径最短，即可求解．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
同理可得直线的表达式为：①；
（2）如图1，连接，过点作轴交于点，
将点代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：，
设点，则点，
，
解得：或，
故点或，；
（3）当点在抛物线对称轴的右侧时，点，
过点作，过作点直线的对称点，连接交直线于点，此时，点运动的路径最短，
，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点，
，则直线过点，则其表达式为：②，
联立①②得，则中点坐标为，
由中点坐标公式得：点，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③并解得：，即点，，
点沿向下平移个单位得：，．
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