2022-2023学年人教版九年级上数学弧长和扇形面积练习题学校:___________姓名：___________班级：_________
__一、单选题1．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（?）A．90°B．100°C．120°D．150°2
．将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为（?）A．2B．6C．6D．183．如图，从一张
腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），
则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．A．15B．30C．45D．30π4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4，以BC
的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于点D，E两点，则的长为（?）A．B．C．D．45．如图，点A，B，C是上的点，连接，且，
过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为(?)A．B．C．D．6．如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=
CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（?）A．60B．70C．75D．807．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮
的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（?）A．120°B．60°C．180
°D．450°8．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（
?）A．B．C．D．9．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边
长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（?）A．B．
2C．D．4二、填空题10．如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为______．11．如图，在中，，斜边是半圆O的直径
，点D是半圆上的一个动点，连接与交于点E，若是等腰三角形，则弧的长为____________．12．如果一个扇形的弧长为，面积为，
那么此扇形的半径为________，圆心角为________．13．如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对
角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是_
__________．14．如图，菱形ABCD中的边长为cm，∠A＝135°，以点C为圆心的弧EF分别与AB、AD相切于点G、H，
与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_____．（结果保留根号）15．如图，在中，，，，将
绕顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是________．1
6．如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为__________．（结果保留）．17．如图所示
，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有100个三角形，需要________根火柴棍．三、解答题18．如图，△ABC内
接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．(1)求证：AC＝AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30
°，求的长（结果保留π）．19．如图，内接于.，D是上任一点，.求证：DA平分.20．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直
线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【
问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻
度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）参考答案：1．C【分
析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，由题意得：，解得，则这个
圆锥的侧面展开图的圆心角是，故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．2．A【分析】该圆锥底
面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后
解方程即可．【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，根据题意得，解得，即该圆锥底面圆的半径为2．故选：A．【点睛】本题考查了圆锥的计算
，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．3．A【分析】作出等腰三
角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在
的圆的半径R，然后根据弧长公式求出的长度，的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．【详解】如图，过点O作OE⊥AB，
垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，，解得，所以该
圆锥的底面圆的半径为15cm，故选A．【点睛】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，
准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键．4．B【分析】连接OE，OA，OD，易证四边形ADOE是正方形，则O是BC的中
点，即可得OA，进而得OD的长，从而得到的长【详解】如图，连接OE，OA，OD，由⊙O分别与AB，AC相切可得四边形ADOE是正方
形，∴O是BC的中点，∴OA＝×4＝2，∴OD＝2，∴，故选B．【点睛】本题主要考查圆基本性质以及求弧长，能够做出辅助线求出圆的半
径是解题关键．5．B【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解．【详解
】解：∵， ∴∠AOB=30°，∴，∵，∴，∴阴影面积等于扇形AOB的面积，∴阴影面积等于．故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、
扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．6．C【分析】由题干，可知四边
形为菱形，又，所以，．连接BD，易知AE、BE、DE是的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案．【详解】解：连接BD，并延长AE交
BD于点O∵，，∴四边形BCDE是菱形，∴AE、BE、DE是的角平分线．∴A、E、O、C四点共线，∵，∴，∴，∴，同理：∴，故选：
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定及三角形的性质及角平分线的灵活运用，解题关键是熟练掌握三角形的性质，以及菱形的判定和性质．7．B
【分析】设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，根据弧长公式即可求出．【详解】解：设OA
旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，由弧长公式，得，∴.故旋转角度为60°故选：B.【点睛
】此题考查了弧长公式，正确理解重物上升的10cm就是弧长，所求的度数就是圆心角是解题的关键．8．D【分析】求出一个周期圆心走的路程
，即可求出圆心经过的路径长为时圆心的位置，故可求解．【详解】如图，圆心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一个周
期圆心经过的路径长为OA++BC=4，∴C（4+2，0），故当圆心经过的路径长为时，÷4=505…1∴圆心的横坐标是505×（4+
2）+=故选D．【点睛】此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．9．A【分析】根据斐波那契数的
规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．【详解】解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个
数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长设圆锥底面半径为r，则故选：A．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的
规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．10．2【分析】设扇形的半径为，根据弧长公式得到，解方程即可求解．【详解】设扇形的半径为
，根据弧长公式得到，解得．故答案为：【点睛】本题考查了弧长的计算：（弧长为，圆心角的度数为，圆的半径为）熟练掌握是解题关键．11．
或【分析】分两种情形：①，②，分别求出，利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图1中，当时，∵，，∴，∵点O为AB的中点，∠ACB=
90°，∴OC=OA=OB，∴点C在所在的圆上，∵弧弧，∴，∴的长．如图2中，当时，点E与O重合，∵EB=EC，∴∠EBC=∠EC
B=40°，∵∠DEB是△BCE的外角，∴，∴的长．故答案为：或．【点睛】本题考查弧长公式，等腰三角形性质，圆周角定理，三角形外角
性质，掌握弧长公式，等腰三角形性质，圆周角定理，三角形外角性质是解题关键．12． 【分析】根据扇形面积公式S=lR求得半径R的长度
；然后由弧长公式来求圆心角的度数．【详解】∵S扇形=lR，∴12π=×4πR，解得，R=6．∵l=，∴，解得，n=120°．故答案
是：6，120°．【点睛】考查了扇形面积的计算和弧长的计算．扇形面积公式是S=或S扇形= （其中l为扇形的弧长）．13．【分析】取
的中点，连接，过作于，证明出，由性质得，即知线段长度最小即是线段长度最小，此时运动到，最小值即是的长度，根据是的中位线，即可得答案
．【详解】解：取的中点，连接，过作于，如图：菱形中，，是等边三角形，，，，将线段绕点逆时针旋转得到，，，，，，线段长度最小即是线段
长度最小，当运动到时，最小，即是最小，最小值即是的长度，是中点，，而，是的中位线，，最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查菱形中的
旋转问题、等边三角形、中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．14．【分析】先连接，设，由三角函数定义求得扇形的半径
即圆锥的母线长，根据弧长公式，再由，求出底面半径，最后根据勾股定理即可求得圆锥的高．【详解】如图： 连接，，，与相切，，在直角中，
，即圆锥的母线长是，设圆锥底面的半径为，则：，．则圆锥的高．故答案为：．【点睛】本题考查的是圆锥的计算， 先利用直角三角形求出扇形
的半径， 运用弧长公式计算出弧长， 然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径 ．15．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股
定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积－扇形DEF的面积计算即可得到答案．【详解】解：作
DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2， ∴， 由旋转得△EOF≌△BOA， ∴∠OAB=∠EFO， ∵∠FEO+
∠EFO=∠FEO+∠HED=90°， ∴∠EFO=∠HED，∴∠HED=∠OAB， ∵∠DHE=∠AOB=90°，， ∴△DHE
≌△BOA（AAS）， ∴DH=OB=1，，∴阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积－扇形DEF的面积，
故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．1
6．##【分析】由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案．【详解】解：∵，∴又的半径为1，的长度= 又，∴
的长度=∴与的长度之和=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．17．20
1【分析】先找出一个三角形的根数，再依次找出2个、3个、4个三角形需要的根数，即可找到答案.【详解】解：根据题意得：第一个三角形需
要3根火柴棍；第二个三角形共需要5根火柴棍；第三个图形共需要7根火柴棍；……则第n个三角形共需要(2n+1)根火柴棍．∴100个三
角形，需要201火柴棍．故答案为：201.【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系是关键，并将得到的规律用于解决问题。
属于中档难度题.18．(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；（2）连
接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．（1）∵，，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B
＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）连接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30
°，∴，∴．∴的长．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是
解答本题的关键．19．详见解析【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，由得∠ACB=∠ABC，等量代换得∠ADC=
∠ACB，再由已知可得∠ADC=∠ADE，即DA平分．【详解】证明：，.，.，，即DA平分.【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等
圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．20．见解析【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在
直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角
三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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