中考数学《几何中的最值问题》专项练习(附答案解析)一、单选题1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运
动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）A．12B．24C．36D
．482．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （
）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm23．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心
，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）A．30B．29C．28D．274．如图，∠AO
B＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P
关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（ ）A．6B．8C．12D．185．如图，矩形ABC
D中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF
面积的最小值是（ ）A．16B．15C．12D．11二、填空题6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为A
B边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最
大值为_________．7．如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆
弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则△PCD的面积最大为______________．8．
已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成
的图形的面积的最大值是_____．9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合
），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a
的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．10．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则
△ABP面积的最小值为__________． 三、解答题11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C
，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周
长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大
？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G
，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时
，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．13．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上
的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点
Q的坐标．14．已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上
，其中点B（0，1），且∠BDC＝90°，求点C的坐标：（3）如图，直线y＝kx+1﹣k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ＝90°，
求△PDQ面积的最小值．15．如图，已知二次函数的图象交x轴于A(－1，0),B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线
上一动点（不与B,C重合），过点P作PE⊥BC，PF∥y轴交BC与F，则△PEF面积的最大值是___________． 16．如图
，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．
（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作
CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）
中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．17．如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时
针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设．（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值．18．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，A
B＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线
段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△
PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值
．19．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝ ；问题探究（2）如图②，在Rt
△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝ ；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中
，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若B
C＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．20．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分
别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠D
FC＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④；⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是______21．如图，抛
物线与坐标轴交于点,点为抛物线上动点,设点的横坐标为．（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称,求点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点
在第四象限,连接及,当为何值时,的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点,使为以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标
；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐
标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a
的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．23．
如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当
的面积最大时，求点的坐标；（3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存
在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂
线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大．参考答案与解析一、单选题1．【答案
】D【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【
解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，P
C＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角
三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．2．【答案】
B【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角
形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了
折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．3．【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三
角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线的最小距离，由此即可解决问题．【解答】过D作DM⊥BC于M，连
接BD，如图，令，则，令，则，∴B（12，0），C（0，-5），∴OB=12，OC=5，BC==13，则由三角形面积公式得，BC×
DM=OB×CD，∴DM=，∴圆D上点到直线的最小距离是，∴△ABC面积的最小值是．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的应用、勾
股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC的最大距离以及最小距离．4．【答案】B【分析】连接OP，过点O作O
H⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最
小．【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN＝?MN?OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于
OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°
，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，故选：B．【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，
垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．5．【答案】B【分析】过点F作AD的垂线交AD的
延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【解答】解
：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA， ∴
△FEH∽△EBA， ∴ 为的中点， ∴ 设AE=x， ∵AB ∴HF ∴当 时，△CEF面积的最小值 故选：B．【点评】本
题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题6．【答案】【分析】
作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD
＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．【解
答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DE
N＝∠CDM，在EDN和DCM中∴EDN≌DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝3
0°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣
4.5）2+，∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为，故答案为：．【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三
角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．7．【答案】【分析】由圆周角定理可知，再由可证明，
最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC：CA＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【解答】为直径，，又BC：CA＝4：3，
当点P在弧AB上运动时，当PC最大时，取得最大值而当PC为直径时最大，．【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与
性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．【答案】2+【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△
CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离
最小，此时△CDP的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，∴只要求出△CDP面积的
最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，易知
AD＝2，∵四边形ABCD的面积＝（1+3）×2＝4＝×1×1+?AD?OH+?1?3，∴OH＝，∴PH＝﹣11，∴△CAD的面积
最小值为2﹣，∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．故答案为2+．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合
圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．9．【答案】 【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从
而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论
．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=2，∴AB=2，AC=4，∵AG=，∴CG=，如图1，
过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=CG=，则点G到BC边的距离为，∵HM⊥BC，AD∥B
C，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH==，∴
S△ADG，当最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴，
∴，∴△ADG的面积的最小值为，故答案为：，．【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性
质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．10．【答案】【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B
(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元
二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值．【解答】设直线AB为
∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴ ∴∴直线AB为如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为当与抛物线相交并只有
一个交点P时，△ABP面积为最小值∴ ∴ ∴ ∴ ∴∴ 将代入，得 ∴ ∴ ∴ ∴为直角三角形， ∴ 即△ABP面积的最小值为
故答案为：．【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数
、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题11．【答案】（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1
)；（3）点的坐标为，【分析】（1）（1） 将、坐标代入即可；（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称
， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；【解答】解：（1）抛物线经过点，点，，解得，所以，抛物线的解析式为；（2）
，，抛物线的对称轴为；长度不变，最小时，的周长最小，、是关于抛物线对称轴对称的，当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如
图，，解得：，，抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；（3）存在，如图，设过点与直线平行线的直线为，联立，消掉得，，，解得：，即时，
点到的距离最大，的面积最大，此时，，点的坐标为，，设过点的直线与轴交点为，则，，，直线的解析式为，，点到的距离为，又，的最大面积．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，
联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．12．【答案】（1）2‘（2）1；（3
）（7-）．【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长
线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=
∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值
2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得
HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小．【解答】解
：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB
∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°
，HE=FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此
S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．【
点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题．13．【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．【分析】（1）函数的表达式为
：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=
∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】解：(1)函数的表达式为：，将
点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解
得，直线PD的表达式为：，则，，∵，故有最大值，当时，其最大值为；(3)∵，∴，∵，故与相似时，分为两种情况：①当时，，，，过点A
作AH⊥BC与点H，，解得：，∴CH＝则，则直线OQ的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点或；②时，，则直线OQ的表达式为：…③
，联立①③并解得：，故点或；综上，点或或或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其
中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．【答案】（1）y＝（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点
（3，4）代入解析式求得a的值即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DC
F得，即1＝＝，据此求得x0的值即可得；（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝DG?MN列出关于k
的等式求解可得．【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，解得：a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；（2）
由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），则y0＝（x0﹣1）2，如图1，过点C作CF
⊥x轴，∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠BDO+∠CDF＝90°，∴∠BDO＝∠
DCF，∴△BDO∽△DCF，∴，∴1＝＝，解得：x0＝2，此时y0＝1，∴点C的坐标为（2，1）．（3）设点P的坐标为（x1，y
1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，由y
=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2﹣（2+k）x+k＝0．∴x1+x2＝2+k，x1?x2＝k．∴MN＝|x1﹣x2|＝＝
＝|2﹣k|．则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），所以DG＝1，∴S△PDQ＝DG?MN＝×1×|x1
﹣x2|＝＝|2﹣k|，∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数
法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．15．【答案】【分析】先证明△PEF∽△BOC,得出，
再根据，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．【解答】解：设(0 故C(0,2)，∵PF∥y轴，PE⊥BC，∴∠PFE=∠BCO,又∵∠PEF=∠BOC=90°, ∴△PEF∽△BOC, ∴ ,把
B(4,0),C(0,2)代入直线BC的解析式为，点，∴，∴PE=BO·=4× ，EF=OC·=2× ，∴ =，当时，取值最大，∴
的最大值为，故答案为．【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出
三角形的面积是解题的关键．16．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．【分析】
（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；（3）过点P作另一条
直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边
形MOFG＝S△MON． 便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．【解答】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半
径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N
，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM∥OB，∴∠C＝∠PON，在△PCM和△PON中，，∴△PCM≌△PON（ASA），∴
PM＝PN，∴OP平分△MON的面积；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，∵CM∥O
B，∴∠GMP＝∠FNP，在△PGM和△PFM中，，∴△PGM≌△PFN（ASA），∴S△PGM＝S△PFN∴S四边形MOFG＝S
△MON．∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴当点P是MN的中点时S△MON最小．【点评】本题主要考查了图
形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．17．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由旋转可得
到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；（2）过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，利用勾股定理
表示出AD、BD，再根据BD=AB-AD列方程求出h2，然后求出△ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（
1）∵，，，∴．由旋转的性质，得，，由三角形的三边关系，得解不等式①得，解不等式②得，∴的取值范围是．（2）如图，过点作于点，设，
由勾股定理，得，，∵，∴，两边平方并整理，得，两边平方整理，得．∵的面积为，∴，∴当时，面积最大值的平方为，∴面积的最大值为．【点
评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2
）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．18．【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；
（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用
互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；（3）方法1：先判断出
最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结
论．【解答】解：（1）点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形．由旋转
知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，，在中，，，，在中，，，，
．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点在的延长线上，，，．【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形
的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的
关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．19．【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45
°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD
＝AC＝5；（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角
形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，∴，故答案为：20；（2）∵DA＝DB，∴∠A＝∠D
BA，∵∠ABC＝90°∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝AC
＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，
S△BCD有最大值，S△BCD＝×BC×DE＝×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BC
D＝16；∠BCD＝45°．【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌
握定义定理是解题的关键．20．【答案】①②③⑤【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证
△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝；由勾股定理即
可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为．【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∵AC＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等边三角
形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）
∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△EFC是等边三角形，故①正确；∵∠ECF＝∠ACD＝60°，∴
∠ECG＝∠FCD，∵∠FEC＝∠ADC＝60°，∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，∴点E为AB
中点，点F为AD中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴AO＝AB＝3，
BO＝AO＝，∴BD＝，∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，∴BE＝EM＝3，BM＝2EM，
∴BM＝，同理可得DN＝，∴MN＝BD?BM?DN＝，∴BM＝MN＝DN，故③正确；∵△BEC≌△AFC，∴AF＝BE，同理△AC
E≌△DCF，∴AE＝DF，∵∠BAD≠90°，∴EF2＝AE2＋AF2不成立，∴EF2＝BE2＋DF2不成立，故④错误，∵△EC
F是等边三角形，∴△ECF面积的EC2，∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，此时，EC＝，△ECF面积的最小值为，故⑤正确；故
答案为：①②③⑤．【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练
掌握性质定理是解题的关键．21．【答案】（1）（2）当时，有最大值；（3）【分析】（1）根据抛物线上的对称点B和E，求出对称轴从而
可求出C点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A代入求出a值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平行线交AE于点H，分别根
据抛物线和直线AE的解析式表示出点P和点H的坐标，从而求出线段PH的长，最后用含t的式子表示APE的面积，利用二次函数的性质求解；
（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P的坐标．【解答】解：（1）抛物
线经过点抛物线的对称轴为点点抛物线表达式为,解得抛物线的表达式为如图,过点作轴的平行线交于点由点的坐标得直线的表达式为设点，则当时
，有最大值直线表达式中的值为,则与之垂直的直线表达式中的值为① 当时，直线的表达式为将点的坐标代人并解得,直线的表达式为联立得解得
或（不合题意，舍去）故点的坐标为② 当时，直线PA的表达式为将点A的坐标代人并解得,直线的表达式为联立得解得或0（不合题意，舍去）
故点综上，点的坐标为或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待
定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学
问题．22．【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣
3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，
0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝
4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1
，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax
﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即
可求出结论．（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可
．【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A
（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即
ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝
ax+a（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2a
x﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3a
x﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值═a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a＝，解得
a＝﹣；（3）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：
x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易
得Q（﹣4，21a），∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2
＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣∴P（1，﹣）；②如图3，
若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴
∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2
＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．【点评
】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助
线是解题的关键．23．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，先求出直线的解析式，再用m表示，得出，配方即可得出结论（3）先根据抛物线的解析式得出顶点M的坐标, 设点坐标为，得出，从而确定NG的长，再根据得到关于n的方程，解方程即可【解答】解：（1）由题意得：，解得，抛物线的解析式为（2）设点的坐标为，过点作轴于点，交于点，点，，直线的解析式为：，点为，．，当时，最大，此时点坐标为．（3）存在点满足要求．，顶点为，直线的表达式为：．设直线与轴交于点，则点为，，．设满足要求的点坐标为，则．过点作于点，则，，，而，，整理得，解得．存在点满足要求，点坐标为或．【点评】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，以及方程思想的应用，综合性较强．24．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB=BC=10，CE=2，∴BE=8，∴FG=CG，∴EG=CE+CG=2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=8，∴S△ECF=CE?FG=×2×8=8；（3）设CE=x，则BE=10-x，∴EG=CE+CG=x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=10-x，∴S△ECF=×CE×FG=×x?（10-x）=，当x=5时，S△ECF最大=，∴当EC=5时，的面积最大.【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．第 1 页 共 47 页 |
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