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在很多人眼中，数学可能是这样的：
而在数学家眼中，数学是这样的：
这是曼德布洛特集合（Mandelbrot Set），是一种由复平面上的一组点组成的集合，这些点对应于迭代某个函数时，对于某些初始值，迭代结果不会发散到无限大的情况。这个函数通常是一个简单的复合函数，也就是说，它由一些基本的函数（例如平方函数）组合而成。
曼德布洛特集合就是所有保持有界的 c 组成的集合。在复平面上，这个集合通常呈现出非常美丽的分形形态，这也是曼德布洛特集合受到广泛关注的原因之一。 数学是这样的：
这是朱利亚集合（Julia Set），与曼德布洛特集合密切相关的另一类集合。它同样是由复平面上的一组点组成的集合，也是由一个函数迭代生成的。和曼德布洛特集合一样，朱利亚集合也通常呈现出分形形态，形状和大小取决于 c 的值。因此，朱利亚集合也是一种非常美丽的数学对象，吸引了很多人的研究和探索。 是这样的：
这是科赫雪花（Koch snowflake），是一种分形图形，它是通过无限迭代地对一个正三角形的边进行曲线替代而构造出来的。具体地，我们首先将三角形的每条边平分为三段，然后将中间一段替换为一个向外凸出的等边三角形，这样就得到了一个类似于一个 W 形的图形。接着，我们对每个向外凸出的三角形的三条边重复上述曲线替代操作，得到的图形就是第一级科赫雪花。然后，我们对每个小三角形的三条边继续进行曲线替代操作，得到第二级科赫雪花，以此类推。 无限迭代下来，科赫雪花的形状会越来越接近于一个分形图形。它具有很多有趣的性质，例如它的周长无限大，但是它的面积却是有限的，而且可以计算出来。科赫雪花还具有自相似性，也就是说，它的不同部分之间具有类似于整体的形状和结构。这些性质使得科赫雪花成为了一个重要的数学对象，也被广泛地应用于科学、艺术和工程等领域。 是这样的：
这是谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle），是一种分形图形，它是通过对一个正三角形进行无限次迭代的切割和移除而得到的。具体地，我们首先在正三角形的中心连接三条边，形成一个内嵌的小正三角形。然后，我们将原始正三角形中心的小三角形切除，并对每个剩余的小三角形重复上述切割和移除操作，得到一个更小的谢尔宾斯基三角形。如此反复迭代下去，最终得到的图形就是谢尔宾斯基三角形。 谢尔宾斯基三角形是分形图形中最简单的一种，它具有自相似性和无限的层次结构。例如，谢尔宾斯基三角形中的任意一个小三角形都可以看作是整个图形的一个缩小副本。这些性质使得谢尔宾斯基三角形成为了一个经典的数学对象，也被广泛地应用于科学、艺术和工程等领域。例如，它可以用来描述物理系统中的分形结构，也可以被用作数据压缩和密码学中的随机数生成器等。 是这样的：
这是指谢尔宾斯基地毯（Sierpinski Carpet）和它的三维对应物——门格尔海绵（Menger Sponge），它们都是分形图形。 谢尔宾斯基地毯是通过对一个正方形进行无限次迭代的切割和移除而得到的。具体地，我们首先将正方形平分成9个小正方形，然后将中心的一个小正方形切除，并对每个剩余的小正方形重复上述切割和移除操作，得到一个更小的谢尔宾斯基地毯。如此反复迭代下去，最终得到的图形就是谢尔宾斯基地毯。 门格尔海绵则是谢尔宾斯基地毯的三维对应物，它是通过对一个立方体进行类似的无限迭代操作得到的。具体地，我们首先将立方体分成27个小立方体，然后将中心的一个立方体以及6个与它相邻的小立方体切除，并对每个剩余的小立方体重复上述切割和移除操作，得到一个更小的门格尔海绵。如此反复迭代下去，最终得到的图形就是门格尔海绵。 这两种分形图形同样具有自相似性和无限的层次结构，是分形几何中的经典对象。门格尔海绵也被广泛地应用于科学、工程和计算机图形学等领域，例如在计算机图形学中，它可以被用来构造逼真的三维景象和模拟自然界中的纹理和形态。 是这样的：
这是“彭罗斯瓷砖”（Penrose tiles），也称为“彭罗斯菱形”（Penrose diamonds）。它们是一组具有特殊几何性质的切割形状，可以通过拼接来填满平面或空间。 彭罗斯瓷砖是由英国数学家罗杰·彭罗斯于1974年发明的，它具有五重对称性，即可以旋转5次而不改变自身的形状。这种特殊的对称性质使得彭罗斯瓷砖在数学和物理学领域中具有广泛的应用，例如可以用来描述结晶体和调和函数等。 彭罗斯瓷砖还具有另一项特殊的性质，即不存在重复的排列方式。这意味着无法通过平移或旋转来将一种排列方式转化成另一种排列方式。这种性质使得彭罗斯瓷砖成为了非周期性晶体的代表之一，这种晶体在自然界中也有所发现，例如石墨烯就是一种非周期性晶体。 总的来说，彭罗斯瓷砖是一种独特而又有趣的几何图形，其不同寻常的对称性质和排列方式使其成为了分形几何和晶体学等领域的重要研究对象。 是这样的：
这是海希铺砖（Heesch Tiling），是指一种具有特殊性质的切割覆盖，它由荷兰数学家A. Heesch于1965年提出。Heesch Tiling是一种无穷无尽的、不规则的、非周期性的切割覆盖，它可以无缝地覆盖平面上的任意区域，且不存在重复排列。 Heesch Tiling的一个关键特征是它的边界具有特殊的约束条件，称为Heesch数（Heesch number）。简单来说，Heesch数是指可以将Heesch Tiling无限地延伸下去的最小数量，也就是对于每个Heesch Tiling，都存在一个整数n，使得无论如何延伸，都不能超过n步。这种约束条件使得Heesch Tiling具有一定的规则性，同时也使其产生了一些奇妙的几何和组合性质。 Heesch Tiling的研究不仅仅是为了满足几何学的好奇心，它还具有一定的实用价值。例如，Heesch Tiling可以用来设计磁性材料的微结构、创建无缝壁纸和纹样等。此外，Heesch Tiling也被用于研究拓扑学和自组装等领域。 总的来说，Heesch Tiling是一种具有特殊约束条件和规则性质的无穷无尽的切割覆盖，它在几何学和组合数学等领域中具有广泛的应用和研究价值。 是这样的：
这是科拉茨猜想的可视化。科拉茨猜想（Collatz Conjecture），也称为3n+1猜想或奇偶归一猜想，是一个数学上的猜想，由德国数学家洛茨·科拉茨（Lothar Collatz）于1937年提出。 该猜想的表述为：对于任意正整数n，如果它是奇数，则将它乘3再加1，如果它是偶数，则将它除以2，重复这个操作直到n变成1为止。虽然这个猜想看起来非常简单，但是目前数学家们还没有找到一个简单的证明或者反例来证实或者推翻这个猜想。 虽然科拉茨猜想尚未被证明，但是已经被计算机模拟验证了很多次，包括范围在2的68次方以下的所有正整数。同时，科拉茨猜想也引发了人们对于数学本质和算法复杂度等方面的思考和研究。 是这样的：
这是乌兰螺旋（Ulam spiral），是由波兰数学家斯坦尼斯瓦夫·乌兰（Stanisław Ulam）于1963年提出的一个数学构造。它是一个由自然数沿着螺旋线排列而成的二维图形，每个自然数都占据一个格子。具体地，将自然数从1开始，按照顺时针方向依次填充在一个螺旋线上，如下图所示：
乌兰螺旋在数学和计算机科学等领域中有着广泛的应用和研究价值。例如，乌兰螺旋可以用来研究质数的分布规律，通过在乌兰螺旋上标记质数和非质数的分布情况，可以发现质数的分布具有一定的规律性和周期性。同时，乌兰螺旋也可以用来生成一些有趣的数学问题和谜题，例如找到最长的连续质数和等等。 是这样的：
这是黎曼猜想的可视化。黎曼猜想（Riemann Hypothesis）是数学领域中一个著名的猜想，由德国数学家伯纳德·黎曼于1859年提出。该猜想涉及到复变函数论、数论、代数几何等多个领域，是数学研究中最重要的问题之一。 黎曼猜想的表述为：所有非平凡的黎曼 zeta 函数的零点都位于复平面上的一条直线上，即所谓的“临界线”。这个临界线的实部为1/2。其中，黎曼 zeta 函数是一个特殊的复变函数，它可以表示为一个级数的形式，其中每个项都涉及到一个自然数的幂。 虽然黎曼猜想看起来非常简单，但是目前数学家们还没有找到一个简单的证明或者反例来证实或者推翻这个猜想。黎曼猜想的证明涉及到复杂的数学知识和技术，迄今为止尚未得到完整的证明，但是已经得到了很多重要的推论和结论，对数学研究和应用有着深远的影响。 是这样的：
这是毕达哥拉斯三元组的可视化。毕达哥拉斯三元组指的是三个正整数 a、b 和 c，满足 a²+b²=c² 的组合。其中以毕达哥拉斯命名，是因为他是第一个发现并研究直角三角形性质的古希腊数学家之一。毕达哥拉斯三元组在数学和物理学中具有重要意义，尤其是在勾股定理和三角函数等方面的研究中经常被用到。例如，在计算机图形学中，毕达哥拉斯三元组可用于生成平滑的曲线和图案。 是这样的：
这是康威的生命游戏，又称为细胞自动机生命游戏，是由英国数学家约翰·康威于1970年发明的一个简单的计算机模拟游戏。该游戏基于一个二维网格，在每个格子里填入一个“生命”或“死亡”状态的细胞。这些细胞按照一定的规则进行演化和交互，最终形成各种复杂的模式和结构。 生命游戏的规则非常简单：在每一轮演化中，一个细胞的生死状态取决于其周围八个格子里相邻的细胞数目。如果一个细胞周围有两个或三个活细胞，则该细胞在下一轮演化时仍为活细胞；如果一个细胞周围有少于两个活细胞，则该细胞在下一轮演化时死亡；如果一个细胞周围有超过三个活细胞，则该细胞在下一轮演化时也会死亡；而对于一个死亡细胞，如果周围正好有三个活细胞，则该细胞在下一轮演化时会“重生”，即变成活细胞。 生命游戏看似简单，但它能够展现出许多意想不到的复杂行为，包括静态的结构、周期性的模式和移动的“星舰”等。此外，生命游戏还具有许多数学和计算机科学上的应用，例如图像处理、数据压缩、加密算法等。 是这样的：
这是瑞卡曼数列（Recamán's Sequence），由瑞士数学家Bernardo Recamán Santos在1964年提出。该数列从0开始，每个后继数都是前一个数减去当前已有的序列中第几个数，但如果结果为负数或在序列中已经出现过，则取前一个数加上当前已有的序列中的第几个数。例如，Recamán's Sequence的前几项是：0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84。 瑞卡曼数列因其不寻常的生成方式而备受关注，并在数学界和计算机科学界中广泛研究和应用。它涉及到许多数学领域，如组合数学、数论、递归、动态规划等，同时还与诸如多边形分割、随机游走、算法设计等方面有关。 是这样的：
这是，173种重叠4个圆的方法。要求将四个圆排列在一起，使它们两两相交，且任意两个圆的交点都在另外两个圆的内部或外部。这样的排列方式一共有173种，这是由英国数学家J. B. Wilker在1969年发现的。 这个问题涉及到的数学知识包括圆的几何性质、组合数学、图论等。它不仅具有美学价值，而且也是一些实际问题的数学模型，如芯片设计、分子结构分析等。 是这样的：
这是骑士的棋盘之旅（Knight's Tour），是指在8x8的国际象棋棋盘上，骑士从一个方格出发，沿着“L”形移动，经过每个方格恰好一次，最后回到起点的过程。这是一个经典的数学问题，其解决方法有多种，包括暴力枚举、启发式搜索、回溯算法等。 骑士的棋盘之旅问题涉及到的数学知识包括图论、欧拉回路、哈密顿回路等。它不仅是一道经典的数学问题，而且也有实际应用价值，如在计算机网络中进行路由规划、在生物学中对蛋白质结构进行模拟等。 最后 数学是非常直观的。为了解决一个问题，一个人必须运用逻辑思维以及创造性思维和直觉。数学世界是由模式和对称所支配的，其中一些是已知的，而大多数则有待我们去发现。 创造力就是探索、发现、想象和创新。许多人在数学中看不到任何创造力的原因是，数学是一门枯燥的学科，有一套严格的规则，人们必须遵守。当人们想到创造力时，他们想到的是在没有规则指导的情况下创造一些东西。 但要记住，文学、音乐和艺术等其他创造性学科也有自己的规则。音乐中有结构、调性、和声、节奏和乐器，就像数学中有代数、算术、运算和公式一样。一旦你学会了一个学科的语言，任何学科都可以是创造性的。科学可以像艺术一样具有创造性。数学可以像音乐一样具有创造性。 |
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