应用插值型求积公式数值求定积分非常有效,但其中等距节点的Newton-Cotes公式最多只有(为偶数时)次代数精度,如何提高代数精度?
1问题剖析- 若对积分区间不取等距节点,即节点未知且权系数亦未知,那么有个未知系数,若将代入下式
则可构造代数精度为次的求积公式,其中为权函数. 由此构造出来的求积公式称为高斯(Gauss)型求积公式,其中 称为高斯点, 称为高斯系数. 注记:Gauss型求积公式在机械求积公式中代数精度最高.
2高斯型求积公式高斯点- 通过上述分析,应先确定高斯点,我们有如下定理与推论:
高斯系数余项由于是插值型求积公式并且具有次代数精度,联想在上的Hermite插值多项式,并由此推出余项为: 稳定性令,其中 为Lagrange插值基函数,那么 3高斯-勒让德求积公式当,时的高斯型求积公式: - 当时,可通过MATLAB或Python求的根,然后求解线性方程组得到,从而得到对应的高斯-勒让德求积公式.
4高斯-切比雪夫求积公式当,时的高斯型求积公式: - 无穷区间的高斯型求积公式:
多重积分的数值计算可采用先累次积分,再由内到外对采用数值积分. 但对于重数较多的积分,会出现维数灾难的问题,因此建议采用统计计算中的蒙特卡洛方法等!
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