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2022年北京市中考数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．（2分）（2022·北京）下面几何体中，是圆锥的为（ ） A． C． 2．（2分）（2022·北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（ ） A．26.2883×1010 B．2.62883×1011 C．2.62883×1012 D．0.262883×1012 3．（2分）（2022·北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（2分）（2022·北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜1 C．a＞b D．﹣a＞b 5．（2分）（2022·北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A． 6．（2分）（2022·北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A．﹣4 B． 7．（2分）（2022·北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5 8．（2分）（2022·北京）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）（2022·北京）若 10．（2分）（2022·北京）分解因式：xy2﹣x＝ ． 11．（2分）（2022·北京）方程 12．（2分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y 13．（2分）（2022·北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双． 14．（2分）（2022·北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
15．（2分）（2022·北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，
16．（2分）（2022·北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）（2022·北京）计算：（π﹣1）0+4sin45° 18．（5分）（2022·北京）解不等式组： 19．（5分）（2022·北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值． 20．（5分）（2022·北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
21．（6分）（2022·北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
22．（5分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A． （1）求该函数的解析式及点A的坐标； （2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 23．（6分）（2022·北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m的值； （2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙”）； （3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙”）． 24．（6分）（2022·北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD． （1）求证：∠BOD＝2∠A； （2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25．（5分）（2022·北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）． 26．（6分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围． 27．（7分）（2022·北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC． （1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF； （2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
28．（7分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT （2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（
2022年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．（2分）（2022·北京）下面几何体中，是圆锥的为（ ） A． C． 【分析】简单几何体的识别． 【解答】解：A是圆柱； B是圆锥； C是三棱锥，也叫四面体； D是球体，简称球； 故选：B． 【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键． 2．（2分）（2022·北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（ ） A．26.2883×1010 B．2.62883×1011 C．2.62883×1012 D．0.262883×1012 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【解答】解：262883000000＝2.62883×1011． 故选：B． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 3．（2分）（2022·北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150° 【分析】根据对顶角的性质解答即可． 【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键． 4．（2分）（2022·北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜1 C．a＞b D．﹣a＞b 【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解． 【解答】解：根据图形可以得到： ﹣2＜a＜0＜1＜b＜2； 所以：A、B、C都是错误的； 故选：D． 【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键． 5．（2分）（2022·北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率． 【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况， 所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 故选：A． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．（2分）（2022·北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A．﹣4 B． 【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0， 解得m 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7．（2分）（2022·北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题． 【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，
故选：D． 【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用． 8．（2分）（2022·北京）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； （2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可； （3）根据矩形的面积公式判断即可． 【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②． 故选：A． 【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）（2022·北京）若 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣8≥0，据此求出实数x的取值范围即可． 【解答】解：∵ ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． 10．（2分）（2022·北京）分解因式：xy2﹣x＝ x（y﹣1）（y+1） ． 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：xy2﹣x， ＝x（y2﹣1）， ＝x（y﹣1）（y+1）． 故答案为：x（y﹣1）（y+1）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．（2分）（2022·北京）方程 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x＝x+5， 解得：x＝5， 检验：把x＝5代入得：x（x+5）≠0， ∴分式方程的解为x＝5． 故答案为：x＝5． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12．（2分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答． 【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数y ∵5＞2＞0， ∴点A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单． 13．（2分）（2022·北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 120 双． 【分析】应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多， 则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 故答案为：120． 【点评】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键． 14．（2分）（2022·北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ 1 ．
【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DE＝DH＝1， ∴S△ACD 故答案为：1．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（2分）（2022·北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，
【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC＝4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BC ∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF， ∴△EAF∽△BCF， ∵ ∴ ∴ ∴AE＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 16．（2分）（2022·北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 ABC （或ABE或AD或ACD或BCD） （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 ACE （写出要装运包裹的编号）． 【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可； （2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可． 【解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求； 选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求； 选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求； 选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求； 选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求； 选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求； 选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求； 选择ACE时，装运的I号产品重量为5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19（吨），符合要求， 综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD或ACE． 故答案为：ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE）； （2）选择ABC时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+3＝6（吨）； 选择ABE时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+5＝8（吨）； 选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3＝4 （吨）； 选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）； 选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）； 选择ACE时，Ⅰ产品重量：5+2+3＝10 且9≤10≤11；Ⅱ产品重量：1+3+5＝9， 故答案为：ACE． 【点评】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）（2022·北京）计算：（π﹣1）0+4sin45° 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案． 【解答】解：原式＝1+4 ＝1+2 ＝4． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18．（5分）（2022·北京）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1， 由x 则不等式组的解集为1＜x＜4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（5分）（2022·北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：x（x+2）+（x+1）2 ＝x2+2x+x2+2x+1 ＝2x2+4x+1， ∵x2+2x﹣2＝0， ∴x2+2x＝2， ∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1 ＝2×2+1 ＝4+1 ＝5． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（5分）（2022·北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解； 方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解． 【解答】证明：方法一：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； 方法二：∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°， ∴∠B+∠ACB+∠A＝180°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 21．（6分）（2022·北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形． 【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴DA＝DC， ∵OA＝OC， ∴DB⊥EF， ∴平行四边形EBFD是菱形． 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．（5分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A． （1）求该函数的解析式及点A的坐标； （2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y （2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值． 【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得 解得 ∴函数解析式为y 当x＝0时，y ∴A点坐标为（0，1）； （2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质． 23．（6分）（2022·北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m的值； （2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 甲 的评价更一致（填“甲”或“乙”）； （3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 丙 （填“甲”“乙”或“丙”）． 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解； （2）计算甲、乙两位同学的方差，即可求解； （3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论． 【解答】解：（1）m （2）甲同学的方差S2甲 乙同学的方差S2乙 ∵S2甲＜S2乙， ∴评委对甲同学演唱的评价更一致． 故答案为：甲； （3）甲同学的最后得分为 乙同学的最后得分为 丙同学的最后得分为 ∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙． 故答案为：丙． 【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 24．（6分）（2022·北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD． （1）求证：∠BOD＝2∠A； （2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得 （2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论． 【解答】证明：（1）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ ∴∠CAB＝∠BAD， ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BOD＝2∠A； （2）如图，连接OC，
∵F为AC的中点， ∴DF⊥AC， ∴AD＝CD， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵ ∴∠CAB＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CDF＝∠CAB， ∵OC＝OD， ∴∠CDF＝∠OCD， ∴∠OCD＝∠CAB， ∵ ∴∠CAB＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠OCD， ∵∠E＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠OCD+∠DCE＝90°， 即OC⊥CE， ∵OC为半径， ∴直线CE为⊙O的切线． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 25．（5分）（2022·北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式； （2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可． 【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20）， ∴h＝8，k＝23.20， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20m， 根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得： 20.00＝a（0﹣8）2+23.20， 解得：a＝﹣0.05， ∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20； （2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20， 解得：x＝8 ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8 第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24， 解得：x＝9 ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9 ∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t）， ∴ ∴d1＜d2， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键． 26．（6分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围． 【分析】（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可； （2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围． 【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式， ∴ ∵m＝n， ∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c， 解得﹣4a＜b＜﹣3a， ∴3a＜﹣b＜4a， ∴ 当t 当t＝2时，x0＝3． ∴x0的取值范围2＜x0＜3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解． 27．（7分）（2022·北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC． （1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF； （2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论； （2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE（SAS）， ∴∠DBC＝∠EFC， ∴BD∥EF， ∵AF⊥EF， ∴BD⊥AF； （2）解：由题意补全图形如下：
CD＝CH． 证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF， ∵AC⊥BF，BC＝CF， ∴AB＝AF， 由（1）可知BD∥EF，BD＝EF， ∵AB2＝AE2+BD2， ∴AF2＝AE2+EF2， ∴∠AEF＝90°， ∴AE⊥EF， ∴BD⊥AE， ∴∠DHE＝90°， 又∵CD＝CE， ∴CH＝CD＝CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键． 28．（7分）（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT （2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（
【分析】（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置； ②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT （2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，从而解决问题． 【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1）， ∴P'（﹣1，1）， 如图，点Q即为所求；
②连接PP'， ∵∠P'PO＝∠MOx＝45°， ∴PP'∥ON， ∵P'N＝QN， ∴PT＝QT， ∴NT ∵PP'＝OM， ∴NT （2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，
由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ， ∴TQ＝2MN， ∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t， ∴TQ＝2﹣2t， ∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1， 在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS， ∴PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS， ∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是解题的关键． |
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