结构固有特性分析

固有频率和振型

固有频率：也可称为特征频率、共振频率、主频率。

振型：结构在特定频率下的变形称为主振动模态，也可称为振型、特征型、固有型。

每一振型与特定的固有频率有关，这些结果反映结构动力特征，决定结构怎样对动力载荷做出响应。

一阶主振型

二阶主振型

三阶主振型

梁的弯曲振动

χ轴：未变形时梁的轴线，即各截面形心连成的直线。

у轴：设梁有对称平面，将对称面内与χ轴垂直的方向取作у轴，梁在对称平面内作弯曲振动时，梁的轴线只有横向位移у(χ，у）。

欧拉-伯努利梁：不考虑剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲振动的影响。

Fs：剪力

M：弯矩

设梁的长度ʃ,材料密度ρ，弹性模量Е，截面积和截面惯性矩为S(χ)和l(χ)， 为单位长度质量，为梁的抗弯刚度。作用在梁上的分布载荷厚度为的微元体的受力状况如图所示，则可列出微元体沿у方向的动力学方程。 

• 动力学方程

不考虑剪切变形和截面转动的影响时，微元体满足力矩平衡条件，对右截面上任意点取矩，得

略去高阶小量，得

由材料力学知，弯矩与挠度的关系为

将（3）和（4）代入（1），得到两点弯曲振动方程

若梁为等截面，则方程可化为

方程含有对空间变量χ的四阶偏导数和对时间变量t的二阶偏导数，求解时必须引入4个边界条件和2个初始条件。

• 固有频率和模态函数

讨论梁的自由振动，因此令

得到运动方程

将方程的解写作

代入上式，得到

于是导出方程

通解为

变系数微分方程，除少数特殊情形之外得不到解析解。

对于等截面梁，上式可化为

其中，

方程（5）的解确定梁弯曲振动的模态函数，设其一般形式为

代入方程（5），导出特征方程

4个特征根为，对应4个线性独立的解为和    。由于

因此可将方程（5）的通解写成

积分常数及参数应满足的频率方程由梁的边界条件确定。

可解出的无穷多个固有频率及对应的模态函数，构成系统的第个主振动，

系统的自由振动时无穷多个主振动的叠加

其中，常数和由系统的初始条件确定。

常见的约束状况与边界条件有以下几种：

• 固定端

固定端处梁的挠度和转角等于零，即

• 简支端

简支端处梁的挠度和弯矩等于零，即

• 自由端

自由端处梁的弯矩和剪力等于零，即

算例：求简支梁的固有频率和模态函数

列出简支端处的边界条件

代入，

得到，

因，故由以上方程组得，且得到频率方程。

由，解得，

而，所以解得

代回表达式，得到模态函数