专题18 圆与正多边形一、单选题1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE
⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（?）A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结
合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解．【详解】解：如图，过点作，∵是的内心，∴，设，∵BD＝10，∴，∴,，∵，∴，解得，∴，
故选B．【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．2．（2022·山东东营·中考真题）用一张半圆
形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】设圆锥的母线
长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．【详解】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．3．（2022·山东枣庄·
中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（
）A．28°B．30°C．36°D．56°【答案】A【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°?30°＝56°，根据
圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠AOB＝86°?30°＝5
6°，∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．故选A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面
积是（?）A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2【答案】D【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计
算即可求解．【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×8=24πcm2．故选D．【点睛】本题考查圆锥的计算
，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．5．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD
相交于点P．已知，，则的度数是（?）A．30°B．25°C．20°D．10°【答案】C【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，
再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，
∴．∴的度数20°．故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角
与弧的度数的关系”是解本题的关键．6．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（?）A．B．C．
D．【答案】D【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：∵正六边形内接
于，∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，∴∠CME= ∠COE=60°，故选：D．【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周
角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．7．（2022·山东泰安·中考真题）如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（?）A
．B．C．D．【答案】D【分析】连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD
=2，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，∵
，∴∠ACD=∠ACE，∴，∴AE=AD=2，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，∴，∴⊙的半径为．故选：D．【点睛】本题主要考查了
圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．8．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是
线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆
上，从而计算出答案．【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形为矩形∴∵∴∴∴点M在O点为圆心，以AO为半径的
圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵，∴∴∵故选：D．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质
，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．9．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（?）
A．B．C．D．【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】，，故选：A
．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．10．（2021·山东青岛·中考真题）如图，是的直
径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据切线的性质
得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进
而得出答案．【详解】解：∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙
O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵点A是弧EC的中点，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BA
C=31.5°，故选：B．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．11
．（2021·山东东营·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（?）A．214°B．215°
C．216°D．217°【答案】C【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．【详解】解
：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长，圆锥的底面周长为：，设圆心角的度数为n，则，解得：，故圆心角度数为：，故选：C．【点睛
】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．12．（2021·山东聊城·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB
＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（?）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据
勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB
＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°
，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠
OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定
理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．13．（2021·山东临沂·中考真题）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．【答案】C【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角
定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接A
D，BD，∵AP、BP是切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=5
5°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性
质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．14．（2021·山东淄博·中考真题）“圆材埋壁”是
我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的
数学语言表述是：“CD为的直径，弦，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（?）A．12寸B．1
3寸C．24寸D．26寸【答案】D【分析】连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾
股定理进一步求解即可.【详解】如图，连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，∵CD为的直径，弦，垂足为E，AB=10寸
，∴AE=BE=AB=5寸，根据勾股定理可知，在Rt△AOE中，，∴，解得：，∴，即CD长为26寸.【点睛】本题主要考查了垂径定理
与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.15．（2020·山东烟台·中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射
线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（?）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质，三角
形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，∵∠AOC
＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角
的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．（2020·山东淄博·中考真题）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到
图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（?）A．2π+2B．3πC．D．+2【答
案】C【分析】利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，?点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，故选：C．【点睛】本题考
查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（2020·山东东营·中考真题）用
一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据圆锥的侧
面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到?2π?r?3=3π，然后解方程即
可．【详解】解：根据题意得?2π?r?3=3π，解得r=1．故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个
扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．（2020·山东潍坊·中考真题）如图，在中，，以点O为圆心，2为半
径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（?）A．B．C．1D．【答案】B【分析】延长CO交于点E，
连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．【详解】延长CO交于点E，连接ED
，交AO于点P，如图，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°,又，∴∠DCB=∠AOB，∴CD//AO∴ ∵OC=2，OB=4，∴BC=
2,∴，解得，CD=； ∵CD//AO，∴，即，解得，PO= 故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查
了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．19．（2020·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点
，在上，，交于点．若．则的度数为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，
最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．【详解】解：∵是的直径∴∠∵∴∴∠∵∴∠∴∠∴∠故
选：B．【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．20．（2020·
山东滨州·中考真题）在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（?）A．6B．9C．12D．1
5【答案】C【分析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．【点睛】此题主要考查了垂径定理和
勾股定理，属于常考题型，正确得出CO的长、熟练掌握上述知识是解题关键．21．（2020·山东泰安·中考真题）如图，是的内接三角形，
，是直径，，则的长为（ ）A．4B．C．D．【答案】B【分析】连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分
AC，再根据正弦的定义求解即可．【详解】如图，连接OB，∵是的内接三角形，∴OB垂直平分AC，∴，，又∵，∴，∴,又∵AD=8，∴
AO=4，∴，解得：，∴．故答案选B．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．22．（2020
·山东泰安·中考真题）如图，是的切线，点A为切点，交于点B，，点C在上，．则等于（ ）A．20°B．25°C．30°D．50°【答
案】B【分析】连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到
∠C=25°，根据平行线性质即可求解．【详解】解：如图，连接OA，∵是的切线，∴∠PAO=90°，∵，∴∠POA=90°-∠P=8
0°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∵，∴∠BOC=∠ABO=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，∵O
A=OC，∴∠OAC=∠C=25°，∵，∴∠BAC=∠C=25°．故选：B【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性
质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或
角的转化．23．（2020·山东临沂·中考真题）如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（?）A．B
．C．D．【答案】C【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，
∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：连接O
D、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形∵，点D为弦的中点∴∠DOC=40°，∠BOC=100°设∠BOE=x，则∠COE=10
0°-x，∠DOE=100°-x+40°∵OC=OE，∠COE=100°-x∴∠OEC= ∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+4
0°=140°-x∴∠OED＜ ∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．又∵∠CED＜∠ABC=40°，故答案为C．【点睛】本题
考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．24．（2020·山东德州·中考真题）如
图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】正六边形的面积加
上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正六边形的面积为：，六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，所
以阴影部分的面积为：，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
25．（2020·山东聊城·中考真题）如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆
锥形容器的高为（?）．A．B．C．D．【答案】C【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定
理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，则圆锥的底面半径是：m，则圆锥的高是：m．故选：C．【点睛】本题考查了
圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的
弧长．26．（2020·山东聊城·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（?）．A．B．
C．D．【答案】B【分析】根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．【详解】解：是的直径，弦，，，，，，又，
，，在和中，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题
的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．27．（2020·山东济宁·中考真题）已知某几何
体的三视图（单位：cm）则该几何体的侧面积等于（ ）cm2.A．B．C．D．【答案】B【详解】试题分析：由三视图知：几何体是圆锥，
其中圆锥的高为4，底面直径为6，∴底面半径为3，根据勾股定理，得圆锥的母线长为5∴圆锥的侧面积S=π×3×5=15π（cm2）．故
选B.考点：1.由三视图求侧面积；2.勾股定理．28．（2022·山东烟台·中考真题）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3
：1，则这个正多边形是（ ）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【答案】C【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根
据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外
角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180°，解得：x＝45°，360°÷45°＝8（边
），故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．29．（2022·山东临沂·中
考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（?）A．900°B．720°C．540°D．360°【答案】
C【分析】n边形的内角和公式为：，再根据内角和公式计算即可．【详解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540° 因此五边
形的内角和是540°． 故选：C【点睛】本题考查了多边形的内角和公式（n-2）×180°的灵活运用．熟悉多边形的内角和公式是解本题
的关键．30．（2021·山东济宁·中考真题）如图，正五边形中，的度数为（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先由正五边形的性
质得到≌， ，，然后由正五边形 内角度数，求出和 的度数，进而求出 的度数．【详解】解：∵五边形为正五边形，∴，，∴，∴，，∴．故
选：【点睛】本题考查了正多边形的性质：各边相等，各角相等，掌握正多边形的性质是解决本题的关键．31．（2020·山东菏泽·中考真题
）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据旋转的性质和四边形的内角
和是360o即可求解．【详解】由旋转的性质得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE，∵∠ABC+∠ABE=180o，∴∠ADE+∠ABE
=180o，∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360o，∠BAD=∴∠BED=180o-，故选：D．【点睛】本题考查了旋转
的性质、四边形的内角和是360o，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．二、多选题32．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，的内切圆（
圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的
长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（?）A．射线一定过点OB．点O是三条中线的交点C．若是等边三角形，则D．点
O不是三条边的垂直平分线的交点【答案】AC【分析】根据三角形内切圆的性质逐个判断可得出答案．【详解】A、以点B为圆心，以适当长为半
径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分线，所以射线一定
过点O，说法正确，选项符合题意；B、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意；
C、当是等边三角形时，可以证得D、F、E分别是边的中点，根据中位线概念可得，选项符合题意；D、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所
以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意；故选：AC．【点睛】本题考查了三角形内切圆的特点和性质，解题的关键是能与
其它知识联系起来，加以证明选项的正确．33．（2021·山东潍坊·中考真题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种
六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；
③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，
交于点G，则下列结论正确的是 ．A．△AOE的内心与外心都是点GB．∠FGA＝∠FOAC．点G是线段EF的三等分点D．EF＝AF【
答案】ABC【分析】证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明F
G=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．【详解】解：如图，在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形， ∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，∴四边
形AEOF，四边形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥OA，∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，∵∠EAF=120°，∠E
AD=30°，∴∠FAD=90°，∵∠AFE=30°，∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，∵∠GAE=∠GEA=30°，∴GA
=GE，∵FG=2AG，∴FG=2GE，∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，∵AF=AE，∠FAE=120°，∴EF=AF，故D
错误，故答案为：ABC．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的
关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．三、填空题34．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为_
___________．【答案】100°##100度【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度
数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数．【详解】解：∵，∴∠OCA=∠BOC=40°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=
40°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．35．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰中，，以A为圆心，以
AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）【答案】【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB
的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．【详解】解：∵等腰中，∴BC=2∴
S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ．
故答案是：．【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．36．（2022·山
东日照·中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5
cm，则圆形镜面的半径为__________．【答案】【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定
理求出AC即可．【详解】解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：，所以圆形镜面
的半径为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面
的直径是解此题的关键．37．（2022·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分
别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面
积即可得到答案．【详解】解：如图，连接OB，是的切线， 设 故答案为：【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算
，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．38．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径
画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为
______________．【答案】##【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为，半圆②弧长为（）2π，半圆③弧长为（）3π，...
...半圆⑧弧长为（）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．【详解】解：∵， ∴，半圆①
弧长为，同理，半圆②弧长为，，半圆③弧长为，……半圆⑧弧长为，∴8个小半圆的弧长之和为．故答案为：．【点睛】此题考查图形的变化类规
律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化规律．39．（2022·山东聊城·中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其
侧面展开图圆心角的度数为______________．【答案】120°##120度【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的，则得到圆锥
底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．【详解】解：设底面圆的半径为，侧面展
开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．由题意得，，∵个圆锥体的底面积是其表面积的，∴，．由得，故．由得：，解得．故答案为：120°
．【点睛】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇
形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．40．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之
方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为
___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；【详解】解：正方形ABC
D的面积为4，，，，，所求周长；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键
求出正方形ABCD的边长．41．（2022·山东泰安·中考真题）如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则___
_______【答案】##64度【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案．【详解】如下图所示，连接
OC从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角得．∵BC是圆O的切线∴ ∵∴∴ ∴ 故答案为：．【点睛】本题考查圆的切
线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．42．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正
方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【分析】连
接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰
直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．【详解】解：连接AC，OD，∵四边形BCD是正
方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴
△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=2，DE=CD=2，∴AP=PD=AO=，∴PE=3，∴图中阴影部分的面积故
答案为：5-π．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键
．43．（2021·山东东营·中考真题）如图，在中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若，，，则扇形
BEF的面积为________．【答案】【分析】根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出，然后根据扇形面积公式计算．【
详解】解：∵，，∴，∵E为BC的中点，EB、EF为半径，∴，∴，∵，∴，∴扇形BEF的面积．【点睛】本题主要考查的是扇形面积计算，
三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．44．（2021·山东聊城·中考真题）用一块弧长16πcm的扇
形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2【答案】【分析】先求出圆锥的
底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，∴做一个高为6c
m的圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，∴圆锥的母线长为：，∴扇形铁片的面积=cm2，故答案是：
．【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题
的关键．45．（2021·山东泰安·中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．【答案
】4【分析】设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影部分的面积等于，计算即可【详解】解：如图，设AB与半圆的交点为D，
连接DC，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，过点D作
DE⊥BC，垂足为E，则∠CDE=∠BDE=45°，∴CE=EB=ED=2，∴半圆关于直线DE对称，∴阴影部分的面积等于，∴===
4故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，利用圆的对称性化阴影的面积为三角
形的面积加以计算是解题的关键．46．（2020·山东济南·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半
径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按
扇形面积公式列方程求解计算即可．【详解】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴， 解得
r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．47．（
2020·山东东营·中考真题）如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____．
【答案】【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、A
Q的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接OP、OQ，∵是的一条切线∴PQ⊥OQ∴∴
当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短在Rt△ABC中，∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3在
Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1∴PQ=．故答案为．【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此
正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键．48．（2020·山东潍坊·中考真题）如图，四边形是
正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；的圆心为点D，半径
为；…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．【答案】【分析】曲线是由一段段90度的弧组
成的，半径每次比前一段弧半径+1，到，，再计算弧长．【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+
1，，，……，，，故的半径为，的弧长=．故答案为：．【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是
解题关键．49．（2020·山东临沂·中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接
直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一
点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的
圆的距离为_____．【答案】【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径
可得结果.【详解】解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和
圆O上点B之间的连线最短，∵A（2，1），∴OA==，∵圆O的半径为1，∴AB=OA-OB=，∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的
距离为，故答案为：.【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题
.50．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是________．【答案】【分析】连接OB，证
明△OAB，△OBC都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出．【详解】解：连接OB，∵四边形为菱形，OA=OB，∴OA=O
B=OC=AB=BC,∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∵，∴ ．故答案为：
60°【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关键是连接OB，得到△OAB，△O
BC都是等边三角形．51．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，AB是的直径，PA切于点A，线段PO交于点C．连接BC，若，则__
______．【答案】27°【分析】连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，因此可得，求解
即可．【详解】如图，连接AC，是的直径，∴，∴，∵PA切于点A，∴，∴，∵，，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查直径所对的圆周
角是直角、切线的性质、三角形外角的性质等内容，解题的关键是作出辅助线，得到关于的方程．52．（2020·山东德州·中考真题）若一个
圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．【答案】120【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是
：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为120．53．（2022·山东菏泽·中考真题）
如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则_______．【答案】5【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n的值．【详解】解：∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，∴设
多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，∴3x+2x＝180°，解得x＝36°，∴一个外角为2x＝72°，360°÷72°＝
5，∴n＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角、外角的知识和外角和定理，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题
的关键．54．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四
边形是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．【答案】①②④【分析】根据正六边形的性质，依次结合题给的
条件，先证有关三角形是否全等，再证四边形是平行四边形．【详解】解：由正六边形的性质知：∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAF=∠
CDE，①若BM=EN，在△ABM和△DEN中，，∴（SAS），∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMDN
，∴四边形是平行四边形； ②若，则∠BAN=∠EDM，在和中，，∴(ASA)，∴AN=DM，∠ANM=∠DMN， ∴ANDM∴四边
形是平行四边形；③若，结合条件AB=DE，∠ABM=∠DEN，SSA无法证明，也就无法证明四边形是平行四边形；④若，在△ABM和△
DEN中，，∴（AAS），∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMDN，∴四边形是平行四边形； 综上所述，①
②④符合题意．故答案为：①②④．【点睛】此题考查了正六边形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形的判定．解题的关键是熟练运用上述知
识逐一进行判断．55．（2021·山东济南·中考真题）如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．【答案】18【分析
】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．【详解】解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形，∴，∴；故答案为18．【点睛】本题
主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．56．（2020·山东烟台·中考真题）一个多边形的每个外角均为40°，
则这个多边形的内角和为______．【答案】1260°【分析】由一个多边形的每个外角都等于40，根据n边形的外角和为360计算出多
边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于40，∴n=360÷40
=9，∴这个多边形的内角和=．故答案为1260．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=（n-2）?180；也考查了
n边形的外角和为360．四、解答题57．（2022·山东淄博·中考真题）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交
于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 图1(2)如图2，过点D作直线DEBC，求
证：DE是⊙O的切线； 图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的
切线GH（切点为H），求证：GF=GH． 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角
定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明B
D=DI；（2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；（3）设法证明△HBG∽△CHG
，推出，再证明△GFC∽△GBF，推出，据此即可证明GF=GH．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠
BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，∴∠BID=∠DB
I，∴BD=DI；（2）证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴，∴OD⊥BC，∵DEBC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；（3）证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI=∠
IHG=90°，∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，∴∠I=∠GHC，∵∠HBG=∠I，∴∠HBG=∠GHC，∴△HBG
∽△CHG，∴，∴，∵ADFG，∴∠DAF=∠GFC，∵∠DAF=∠DBC，∴∠GFC=∠DBC，∴△GFC∽△GBF，∴，∴，∴
，∴GF=GH．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解
决问题，学会用转化的思想思考问题．58．（2022·山东东营·中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．(1)求证：直
线是的切线；(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推
导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；（2）过点O作于F，利用即可得出答案．（1）证明：连接OC，如图，∵，∴，∵平分，∴，∴
，∴，∵于点D，∴，∴直线是的切线；（2）过点O作于F，如图，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，
包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．59．（2022·山东济宁·中考真题）如图
，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF．(1)求证：D
F与半圆相切；(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OF，证明，可得，
根据矩形的性质可得，进而即可得证；（2）连接，根据题意证明，根据相似三角形的性质求得，进而勾股定理，根据矩形的面积公式即可求解．（
1）证明：连接OF． ，，四边形是矩形，∴DF与半圆相切.（2）解：连接，，，，为半圆的直径，，，，，，，在中，矩形的面积为【点睛
】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．60．（2022·山东枣庄·中考真
题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC
的中点，OE＝6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，由AC平分
∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；（2）由OE是△ABC的中位线，
得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD．（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O
的切线；（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的
直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理
，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．61．（2022·山东日照·中考真题）如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．(1
)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度
角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据
等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出
OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分
别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∠A=90°-∠
B=60°，∵D为AB的中点，∴BD=AD=AB，∴AD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵∠ACB=
90°，∴∠DCO=90°-60°=30°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠DCO=30°，∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+3
0°=90°，即OD⊥AB，∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又∵AC=，∴
BD=AC=，∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，∴∠BOD=60°，BO=2DO，由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，解得：OD=1（负数舍去），所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．【点睛】本题考查了切
线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
62．（2022·山东聊城·中考真题）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接
OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．(1)连接AF，求证：AF是的切线；(2)若，，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)
FD的长为【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；（2）根据勾股定理求出AF，
证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．（1
）证明：在△AOF和△EOF中，，∴△AOF≌△EOF（SAS），∴∠OAF=∠OEF，∵BC与相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠
OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是的半径，∴AF是的切线；（2）解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴，∵BC与
相切，AF是的切线∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴，设的半径为r，则，解得，在Rt△
FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，∴，∴，即FD的长为．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三
角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．63．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹
将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图小亮观察后说：“甲、
乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．【答案】不认同，理由见详解【分析】
根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，
，∵，∴，故不认同小亮的说法．【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．64．（2022·山东滨州·
中考真题）如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：(1)PD是的切线；(
2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OB，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明；（2）根据直线PA与
相切于点A，得到，根据余角的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．（1）连接OB，，， AC为的直径，，，，， P
D是的切线；（2）直线PA与相切于点A，，∵PD是的切线，，，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．65．（2021·山东德州·中考真题）已知为的外接圆，．(1)如图1，延
长至点，使，连接．①求证：为直角三角形；②若的半径为4，，求的值；(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，
连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．【答案】(1)①见解析；②；(2)，理由见解析【分析】（1）①利用如果三角形中一条边
上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x
，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；（2）猜想QA，QC，QD三者之间的
数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆
周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E
=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△Q
DA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．（1）①，，．∴∠B=∠DCB，∴∠BAC=∠DCA，∵∠B+∠BAC+∠DCB+
∠DCA =180°，∴∠DCB+∠DCA=90°．为直角三角形；②连接，，如图，，，且．的半径为4，．设，则，，，．解得：．．由
①知：，，．，．（2），，三者之间的数量关系为：．理由：延长交于点，连接，，如图，，，．，．．．与关于对称，，，．?．．即．，．在
和中，，．．．【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与
性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．66．
（2021·山东日照·中考真题）如图，的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接、相交于点，若，．（1
）求对角线的长；（2）求证：为矩形．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用弧相等，圆周角定理推出，可求的长度进而求的长度；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得．【详解】解：是直径，，，，又，，，，，．（2），是平行四边形，∴AC=OB为矩形．【点
睛】本题考查了圆的基本性质，相似和矩形的判定，考的知识点比较全，但是难度中等，掌握圆和矩形的基本性质和相似以及灵活应用是解决本题的
关键．67．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．（1）
求证：AD平分∠BAC；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，
可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；（2）根据相似
三角形的判定和性质，可以得到DB?DF=EF?AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．【详解】解：（1）证明：连接OD，如
图所示，∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠DAC，∵OA=OD，∴
∠OAD=∠ODA，∴∠DAC=∠OAD，∴AD平分∠BAC；（2）证明：连接OF，BD，如图所示，∵AC⊥DE，垂足为E，AB是
⊙O的直径，∴∠DEF=∠ADB=90°，∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，∴∠EFD=∠DBA，∴△
EFD∽△DBA，∴，∴DB?DF=EF?AB，由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAB，∴DF=DB，∴DF2=EF?
AB．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．68．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的
切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当，时，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【
分析】（1）连接，先根据圆周角定理、角平分线的定义，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的判定即可得证；（2）先根据圆周角定理
、平行线的性质可得，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（3）先利用勾股定理可得，再利用圆周角定理可得
，从而可得，然后根据（2）中，相似三角形的性质即可得．【详解】证明：（1）如图，连接，是的直径，，平分，，由圆周角定理得：，，是的
切线，，；（2）由圆周角定理得：，，，，由圆内接四边形的性质得：，，，在和中，，；（3），，，在中，，由圆周角定理得：，，，又，，
即，解得，答：线段的长为．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌
握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题关键．69．（2021·山东东营·中考真题）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，
交AC于点D，于点F，连接OF，且．（1）求证：DF是的切线；（2）求线段OF的长度．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）
连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定
理解答即可．【详解】（1）证明：连接OD∵是等边三角形∴∵∴是等边三角形∴∴OD//AB∵∴∴∴DF是的切线；（2）∵OD//AB
，∴OD为的中位线∴∵，∴∴由勾股定理，得：∴在中，．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知
识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．70．（2021·山东济宁·中考真题）如图，点C在以为直径的上，点D是的中点，连接并延长
交于点E，作，交的延长线于点P．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由AB为直
径，可得∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD∥AC，从而∠ODB=90°．由OB=OE得∠OEB=∠OBE，又
∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，又∠EBP=∠EBC，得∠P=∠O
BD．又∠BOD+∠OBD=90°，从而可得∠BOD+∠P=90°，即∠OBP=90°．则可证PB为⊙O切线；（2）由（1）可得O
D=1，从而PO=7，可证明△BDP～△OBP，从而得比例 ，解得BP=，最后由勾股定理可求半径OB．【详解】（1）证明：∵AB为
直径，∴∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，故OD=AC，OD∥AC，∴∠ODB=∠ACB=90°．∵OB=OE，∴∠
OEB=∠OBE，又∵∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，∴∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，又∠EBP=∠
EBC，∴∠P=∠OBD．∵∠BOD+∠OBD=90°，∴∠BOD+∠P=90°，∴∠OBP=90°．又OB为半径，故PB是⊙O的
切线．（2）解：∵AC=2，由（1）得OD=AC=1，又PD=6，∴PO=PD+OD=6+1=7．∵∠P=∠P，∠BDP=∠OBP
=90°，∴△BDP～△OBP．∴，即BP2=OP?DP=7×6=42，∴BP=．∴OB=．故⊙O的半径为．【点睛】本题属于圆的综
合问题，考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌
握相关知识点并灵活运用所学知识是解题的关键．71．（2021·山东临沂·中考真题）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求
证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠AD
B=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到B
C=CD，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD，∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD，∵AD∥BC，∴∠ED
F=∠CBF，∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四边形BCDE
是平行四边形，又BC=CD，∴四边形BCDE是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定
和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．72．（2020·山东济南·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C
是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，A
B＝3，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半
径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即
可求出AC的长．【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DA
C＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠B
AC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴ ，∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，∴AC＝【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解
题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.73．（2020·山东威海·中考真题）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于
点，连接，，过点作，交于点求证：（1）；（2）为⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据圆内接四边
形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；（2）如图
，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结
论．【详解】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE
＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，∵OB
＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EO⊥BC，∵EF//BC，∴EO⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．【
点睛】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7
4．（2020·山东潍坊·中考真题）如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）连接，是的直径，，即，，连接，∵点C为劣弧的中点，，∵，∵OC是的半径，∴CE是的切线；（2）连接，，∵点C为劣弧的中点，，，，， ∴S扇形FOC=，即阴影部分的面积为：．【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．75．（2020·山东滨州·中考真题）如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，过上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．（1）求证：直线CD是的切线；（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD是切线；（2）连接OC，得AM∥BN，得，再证明，进而得出结论．【详解】解(1)如图,连接是的切线，在和中,是的切线.(2)连接是的切线，又是的切线，平分平分又又,又【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．76．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为，，求的长．【答案】（1）见详解；（2）4.8．【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．【详解】解：连接OD，如图：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）连接AD，如（1）图，∵AB为直径，AB=AC，∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，∴CD=BD=，∠ADC=90°，∵AB=AC=，由勾股定理，得：，∵，∴；【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．77．（2020·山东德州·中考真题）如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是的切线；（2）若，，求AD，BH的长．【答案】（1）见解析；（2），【分析】（1）连接，先根据是的直径，D是半圆的中点，得出，再根据，得出，即可证明；（2）连接，先证明是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB，BC的长求出AC，根据四边形是圆内接四边形，推出，证明，得出，即可求出答案．【详解】证明：（1）连接，∵是的直径，D是半圆的中点，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）连接，∵是的直径，∴，又D是半圆的中点，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴在中，∵四边形是圆内接四边形，∵，∵，∴，由（1）知∠，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得．【点睛】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，灵活运用知识点是解题关键．78．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．（1）试证明是的切线；（2）若的半径为5，，求此时的长．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接，，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线；（2）由（1）可得，，，在中，由勾股定理求得BD的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得DE的长．【详解】（1）证明：连接，， ∵为的直径，∴，又∵，是等腰三角形，∴又是边上的中线， ∴是的中位线，∴， 又，∴，∴是的切线． （2）由（1）知，是边上的中线，得．∵的半径为5，∴．在中，?∵，∴．在和中，∵，，∴，∴，即，解得．【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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