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数学的美妙之处在于其各个领域之间的相互关联和深刻内涵。在微积分中，微分形式和积分便是这样一对紧密相连的概念。它们不仅在数学中具有重要地位，还在物理、工程和其他科学领域中发挥着关键作用。 无需多说，积分是单变量微积分的基本概念之一。然而在这个主题里面出现了三种积分概念：不定积分（也称反导数），
无符号的定积分（用来计算曲线下方的面积，或者是具有变密度的1维物体的质量），
还有有符号的定积分（用来计算例如使点从 a运动到b 时所需的功），
为简单起见，在此限于f：R→R在整个实数直线上为连续的情况（类似地，在考虑微分形式时，限于只讨论在整个区域上连续的情况）。我们也将非形式地使用“无穷小量”这样的术语以避免不得不讨论（常规的）“ε-δ”这样的分析问题，而那是想要解决这些分析问题并使积分概念完全严格所不可少的。 在单变量微积分中的这三种积分之间当然互相有密切的关系，事实上，积分的基本定理把有符号的定积分和一个不定积分用下式连接起来：
而有符号的与无符号的定积分之间，又有下面的简单的恒等式成立：
此式适用于a≤b的情况。 然而，当从单变量微积分转移到多变量微积分时，这三种积分就开始明显地互相分别开来了。不定积分被推广为微分方程的解，或者一个连络、一个向量场，或一个丛的积分。无符号的定积分推广为勒贝格积分，或者更一般地推广为一个测度空间上的积分。最后，有符号的定积分则推广为微分形式的积分，而这就是本文所集中关注之处。尽管这三个概念仍然互相关联，但不如在单变量背景下那样可以互换地使用了。微分形式的积分这个概念在微分拓扑、几何和物理学中具有基本的重要性，而且提供了上同调的最重要的例子，即德拉姆（de Rham）上同调，（粗略地说）德拉姆上同调正是量度了微积分的基本定理在高维情况和一般流形上失效的程度。 为了给这个概念提供一些启发，我们非形式地重温一下有符号的定积分在物理学中的一个基本的应用，就是在有外力的情况下，计算把一个在一维空间（设为R）中运动的粒子，从a点移动到b点所需的功（例如一个荷电的粒子在电场中移动）。在无穷小水平上，把一个粒子从x_i∈R移动到邻近的点x_(i+1)∈R所需的功正比于位移
而比例常数依赖于粒子的初始位置x_i处的外场f（x_i）（它可能代表作用于粒子上的力或电场的力，以上都允许小的误差）。所以这一小段的移动所需的功近似地是
注意，并没有要求x_(i+1)在x_i右方，所以位移以及无穷小功可能是负的。回到计算从a移动到b所需的功这个非无穷小问题，选择从a到b的任意的离散的路径x_0=a，x_1，x_2，…，x_n=b，并且用
来逼近
然而，结果是这种来回的效果最后互相抵消了。不论选择何种路径，当最大步长趋于零时，上面的表达式是收敛的，其极限
就是一个有符号的定积分，只要路径的总长度 有界。特别是若a=b而所有的路径都是封闭的（即x_0=x_m），我们看到，有符号的定积分为零：
从有符号的定积分的这个非形式的定义，很明显有分段（concatenation）公式
成立，而不问a，b和c的相对位置如何。特别有（令a=c）
这样，如果把由a到b的路径反过来变成由b到a的路径，积分就会变号。这一点与无符号的定积分成为对比，因为a，b之间的数的集合和b，a之间的数的集合完全一样。这样，我们看到路径和集合并不完全是一回事：路径具有定向，可以反转，而集合则没有定向。 现在从一维积分转到高维积分，即从单变量微积分转到多变量微积分。结果是两个对象的维数都可以增加，一是"包含空间"、现在取它为
而不再是R；二是路径现在将要被一个有定向的k维流形S所取代，就是在S上作积分。例如，如果n=3，k=2、就是在位于R^3内的一个曲面上积分。 先从n≥1而k=1的情况开始。在此，将在R^n中的一条连续可微的路径（亦即一条有向的可求长曲线）γ上积分，起点和终点分别为a和b（这两个点可以相同，也可以不同，视路径为开的或者为封闭的而定）。从物理的观点来看，我们仍然是在计算将此点从a移动到b所需的功，但是现在是在高维的空间中运动。在一维情况下，不必确定地指出沿哪条路径从a移动到b，因为所有的来回折转都会互相抵消，而在高维情况下，确切地选择路径γ就很重要了。 正式地说，一条从a到b的连续可微的路径可以用一个定义在区间[0，1]上的连续可微函数γ来描述，这里γ（0）=a，γ（1）=b（这也称为用函数γ把这条路径参数化）。例如从a到b的直线段可以参数化为
这个线段还有其他的参数化，例如
然而，和一维情况一样，参数化的确切的选择，最终并不影响积分。但是，把路径反转，例如线段
就真正成了另一条从b到a的路径，这是与γ不同的路径了。沿-γ的积分与沿γ的积分恰好反号。 和一维情况一样，我们需要用离散的路径
来逼近γ，这里γ（t_0）=a，γ（t_n）=b。在这里又一次允许折转。从x_i到x_(i+1)的位移现在是R^n中的向量而不再是标量（事实上，兼顾到以后推广到流形，应该说△x_i是包含空间R^n在x_i点的一个无穷小切向量）。在一维情况下，把标量位移△x_i；转变为一个新数
它与原来的位移成正比，而比例常数为依赖于位置x_i的f（x_i）。在高维情况，仍然有一个线性依赖关系，但是，因为现在位移成了向量，就必须把比例常数代以由R^n到R的线性变换
这样
就表示由x_i移动到x_(i+1)所需要的无穷小“功”。用技术术语来说，这个功就是x_i处的切空间上的线性泛函，也就是x_i处的余切向量。类比于一维情况，从a到b的净功有以下的逼近∶
也和一维情况一样可以证明，当最大步长趋于零而路径总长保持有界时，上式的右方收敛。极限记作
请记住，我们是限于连续函数的，而极限的存在就需要ω的连续性。 ω是一个新的对象。它对R^n中的每一点都指定了一个余切向量，就称ω为一个1-形式，而
就告诉我们如何在路径γ上求1-形式ω的积分。这个式子把重点稍微转移了一点：用“路径”γ来“积”ω这个1-形式，也就是逐渐把“积分区域γ”与“被积表达式”放在同等重要的位置上。说真的，把积分想成一个二元运算（多少像是"点积"即内积一样）是很有用的：它以曲线（即路径）γ和1-形式ω为输入，而输出一个标量
事实上，在曲线与1-形式之间有一种“对偶性”。例如比较下面两个恒等式：一个是表示1-形式的积分是一个线性运算这一基本事实（的一部分）的恒等式
另一个是分段公式的推广
这里伽玛γ_1的终点就是γ_2的起点，从而γ_1和γ_2就是γ_1＋γ_2的分段（concatenation）。 回忆一下，如果f是一个从R^n到R的连续可微函数，则它在x点的导数就是一个从R^n到R的线性映射，如果f是连续可微的，则这个线性映射连续依赖于x，所以可以看作一个1-形式，记为df，并且把x点的这个连续映射写为df。这个1-形式可以刻画为唯一的对于所有无穷小 v 都给出逼近式
的1-形式（严格地说，这个逼近是唯一的满足以下条件的1-形式：当v→0时，
微积分的基本定理现在推广为
这里只要求γ是从点a到点b的有向路径。特别是如果γ是封闭的，则
注意，在理解上式左方时，我们是把它作为
的一个特例，特别之处就在于ω现在恰好就是df。还要注意，现在df有了独立的意义，哪怕它并不位于积分号下，它是一个1-形式。 一个1-形式，如果对于充分小的封闭曲线积分为零，就称为闭形式，而如果有一个连续可微函数f存在，使这个1-形式恰好是df，就称它是恰当的。所以，微积分基本定理就意味着每一个恰当形式都是闭的。这是一个一般的事实，对于流形上的1-形式也是成立的。其逆是否为真，即是否所有的闭形式都是恰当的？如果区域是欧几里得空间，或甚至是任意的单连通流形，答案也是肯定的（这是庞加莱引理的特例）。但是对于一般的区域，它是不成立的。用现代的术语来讲，这种区域的德拉姆上同调可以是非平凡的。 我们已经看到，一个1-形式可以看成一个对象ω对每一个路径γ赋以一个标量
当然，ω并不是一个按照老概念的由路径到标量的一般的函数，它还必须满足分段和反向的规律，再加上我们对于连续性的要求，或多或少地迫使我们把它与一个连续变动线性函数联系起来，这个函数连同γ就可以定义一个积分，现在让我们来考虑如何把这个基本思想从路径推广到k维集合上去，这里k>1。为简单起见，我们坚持看2维情况，就是考虑在R^n的（有向的）曲面上对微分形式积分, 因为这就已经说明了一般情况的许多特性。 从物理上说，当考虑某一个场（例如磁场）穿过一个曲面的流量时，这种积分就会出现。在一维情况下，我们是把1维有向曲线参数化为一个把区间[0，1]映入R^n的连续可微函数γ的，所以很自然地会把2维有向曲面参数化为一个定义于[0，1]^2上的连续可微函数Φ。这确实还没有概括所有我们想要在其上积分的曲面，但是结果是可以把一般的曲面切成小片，而每一片都可以用[0，1]^2这样的"好"区域来参数化。
我们把R^n中的这个对象称为尺度为
基点为x的无穷小平行四边形。我们暂时把“^”这个符号只看成是一个方便的记号，而不加解释。为了模仿曲线的情况来作积分，现在需要某种在基点x处的连续依赖于x的泛函
这个泛函应该把输入进去的平行四边形变成一个无穷小量
输出，而这个无穷小量就可以看成通过这个平行四边形的"流量"。 和一维情况一样，应该要求ω_x具有某些性质。例如，如果把△加倍，也就是把平行四边形的一边加了一倍，（根据ω的连续性）过此平行四边形的“流量”也会加倍。一般地说，
或者说，它是双线性的（这一点推广了一维情况的线性依赖性）。 另一个重要性质是
就是说，双线性形式ω_x是反对称的。这件事也有一个直观的解释：除了定向相反以外，由
来表示的平行四边形和由
所表示的平行四边形是完全一样的，所以通过后者的流量现在应该反号来计算，反过来也是一样。看出这一点还有另一个方法，就是注意到，如果
则平行四边形（因为两邻边重合而退化）为过基点x的线段，从而流量成为零：
由此以及双线性性质，即可得出反对称性。2-形式ω就是在每一点x指定一个ω_x。 如果ω是一个2-形式，而 Φ是一个连续可微函数，则“Φ上”的积分（准确一些，应该说是"在有向正方形[0，1]^2被Φ映射的像上"的积分
可以用积分和
来逼近，这里把Φ的像划分为近似的基点在x_i处的平行四边形
我们不必去决定这些小平行四边形是如何排列的，因为加法是可交换与结合的。可以证明，当平行四边形的划分“越来越细”时，
右式必收敛于唯一极限，但现在不来确切地讲这件事了。 至此，我们已经说明了怎样在一个2维有向曲面上积分一个2-形式。可以更一般地定义一个n维流形（例如R^n）上的k-形式，这里0≤k≤n，并且在这个流形的k维曲面上来积分这个k-形式。举例来说，流形X上的一个0-形式就是其上的标量函数：f→R，它在正定向的点x处的积分就是f（x），而在负定向的点x处的积分则是-f（x）。一个k-形式告诉我们怎样对一个尺度为
的无穷小平行多面体（parallelipiped）指定一个值，从而在一个k维“曲面”的一部分上指定一个值，然后再定义k-形式在此流形的一个k维"曲面"上的积分，完全类似于我们已经见到了的2维情况下的作法。再作一个规定：如果k≠k'，则规定k-形式在一个K维流形上的积分为零。把0-形式、1-形式、2-形式等等（以及它们的形式和与差）统称为微分形式。 对于标量函数，可以作三个基本的运算：加法（f，g）→f+g、乘法（f，g）→fg，还有微分f→df。最后这个运算只有当f连续可微时才有意义，所以不是那么基本。这些运算之间有不同的相互关系。例如乘积对于加法是分配的，
微分对于乘法是一个“导运算”，
这三个运算都可以推广到微分形式及其积分。加法很容易，如果ω和η是两个 k-形式，而Φ：[0，1]^k →R^n是一个连续可微函数，则定义
微分形式的乘法是外积（或称楔积），它的定义粗略地说就是：如果ω是一个k-形式，而η是一个l-形式，则定义
为一个（k＋1）-形式，而对一个k＋l维的以x为基点尺度为
的无穷小平行多面体，分别取ω和η对基点为x，尺度分别为
以及
的无穷小平行多面体所指定的值相乘。 至于微分，若ω是一个连续可微的k-形式，则其微分dω是一个（k＋1）-形式，它在某种意义下度量画的“变化率”，为了看清这是什么意思，特别是看清为什么dω是一个（k＋1）-形式，考虑可以怎样来回答下面一类的问题。设给定了一个R^3 中的球面和一个流，而我们想知道通过这个球面的净流量，就是流入的量与流出的量之差。解决这个问题的方法是：一方面用许多小平行四边形之并去逼近球面，再考虑通过每一个平行四边形的流量，并把它们加起来，这个流量就大小而言，是一个2-形式"乘"上此平行四边形的面积，其方向由此平行四边形的定向决定。 另一方面用许多小平行六面体之并去逼近球体，考虑流出每一个平行六面体的净流量，再把它们加起来，如果这个平行六面体充分小，则为了逼近一个平行六面体的净流量，可以取每一个方向的一对边缘，它们都是平行四边形，并且研究通过这两个边缘的流量之差，就是从一个边缘流出的流量减去从对着它的边缘流入的流量，把从3个方向的边缘所得的这个差加起来，自然就度量了这个2-形式的变化。 把这些净流量相加的过程可以比较严格地用一个3-形式在球体上的积分来描述。这样，我们就可以很自然地期望，关于2-形式的变化的信息包含在一个3-形式中。 这些运算的具体构造需要一点代数，在此略去。然而，我们要提醒，它们服从与标量的对应运算很相似的规则，但有一点不同，就是符号上会有些变化，而归根结底，这些变化来自反对称性。例如，如果ω是一个k-形式，而η是一个l-形式，则乘法的交换律就成了
这基本上是由于交换一个k-形式和一个1-形式，需要总共kl个对换；导运算规则现在成了
微分算子d的另一个规则是幂零性质：
这一点看起来与直觉大相径庭，但是却有基本的重要性。为了看出为什么能够期望这种事情，我们来想一想对于1-形式微分两次会发生什么情况。原来的1-形式会对于每一个无穷小的直线段指定一个标量，它的微分是一个2-形式，而对每一个无穷小平行四边形赋予一个标量，前面讲到微分定义时，已经说明微分与变化率的关系，所以现在得到的标量，本质上表示原来的1-形式当绕行这个平行四边形的四边一周所得到的那些标量之和，虽然如果想要得到一个有意义的结果还要除以这个平行四边形的面积。 如果再重复以上的运算、即再作一次微分，得到一个3-形式，而它赋予一个平行六面体以一个标量。按上面所说，就会得到那个2-形式对此平行六面体的边缘即构成边缘的六个平行四边形所赋予的标量之和，而每一个这样的标量又是1-形式赋予这个平行四边形的四边的标量之和。这样一来，那个平行六面体的每条棱都走了两次（因为每条棱属于两个面），而且方向相反。所以每条棱对于总和的贡献都被抵消了，而总和为零。这就是上面一个式子的解释。 上面讲到了球面上的一个2-形式的积分及其微分（这是一个3-形式）在球体上的积分的关系，可以认为是微积分的基本定理的推广，而它还可以极大地推广为斯托克斯定理
它对任意的可定向流形S和任意微分形式ω都成立。事实上，这个定理可以认为就是导运算
的定义，所以微分算子d是边缘算子
（就是把一个流形变为其边缘这个算子）的伴算子就允许我们完整地建立起德拉姆上同调。 我们已经看到，0-形式可以和标量函数等同起来。同样，在欧几里得空间中，可以利用内积把1-形式与向量场等同起来。而在特殊的（但是在物理上非常有用的）3 维欧几里得空间R^3里，2-形式也能通过有名的右手法则与向量场等同起来，而用这个法则的变体，还可以把3-形式与标量函数等同起来（这是所谓的霍奇对偶性的一个例子）。 在R^3的情况下、当ω是一个0-形式f时，微分算子d就与梯度算子
等同起来；当ω是一个1-形式（即向量场）X时，微分算子d 则与旋度算子
等同起来；而当ωw是一个2-形式X时（注意,2-形式已经与向量场等同起来了，所以仍用记号X）微分算子d则变成了所谓散度算子
这样，
就变成了下面两个式子：对于一切光滑的标量函数，
以及对于一切光滑的向量场，
在这个解释下，斯托克斯定理就成了关于线积分和面积分的定理，而在多元微积分教程中，分别称为“散度定理”“格林定理”和“斯托克斯定理”等等。 正如有符号的定积分与无符号的定积分可以互相连接一样，微分形式的积分与勒贝格积分（或黎曼积分）之间也有联系。在欧几里得空间R^n上，有n个坐标函数
它们的微分都是R^n上的1-形式。取它们的外积，就可以得出一个 n-形式
可以用任意的（连续）标量函数f：R^n→R去乘它，而得到另一个n-形式
如果Ω是R^n中的任意有界开集合，有恒等式
式左是一个微分形式在Ω（看作一个有正定向的n维流形）上的积分，而式右则是Ω上的函数f的勒贝格或黎曼积分。如果赋Ω以负定向，则左方应该改变符号。这个对应关系就是式（2）的推广。 在形式上还有最后一个运算值得提到。设有从一个流形X到另一个流形Y的连续可微映射
这时，当然每一点x∈X 都被推前为Y中的一点
类似地，令
为基点在x 的X 的切向量，它也会被推前为Y的基点在
非形式地说，
我们可以把
写成
这里
是多元映射Φ在Φ（x）点的导映射（derivative）。最后，每一个k维有向流形S也推前为Y上的k维流形Φ（S），虽然当Φ的像的维数小于k而退化时这个推前的流形也就退化。 我们在前面看到积分是流形和微分形式之间的对偶配对，因为在映射Φ：X →Y下，流形被推前了，我们可以期望微分形式会被从Y到X拉回。事实上，对于Y 上的任意一个k-形式ω，都可以定义其拉回为X上的唯一的使得下式成立的k-形式
这个式子就是
这个式子其实就是变量变换公式，因为在0-形式（即标量函数）的情况，标量函数f：Y→R的拉回Φ*f：X→R可以显式地由式Φ*f（x）=f（φ（x）给出，而1-形式的拉回则可由下式显式地给出：
对于其他的微分形式，也可以给出类似的定义。拉回算子有好几个"很好的"性质，例如它保持外积和微分：
利用这样一些性质，可以毫不费力地恢复多元微积分的变量变换公式。进一步可以毫不费力地把整个理论从欧几里得空间推广到其他流形。正因为这个原因，微分学和积分的理论是研究流形的不可少的工具，特别是在微分拓扑中。 |
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