1 傅里叶级数的图形 我们已经知道任意周期为T的函数，其傅里叶级数形式如下，即我们可以用一连串的正弦波（或余弦波）去表示任意周期函数。
比如有一个如下的方波信号或函数
其傅里叶级数可以表示为
于是便得到角频率ω为1、3、5……的正弦函数（实际上要完整表述该函数，还需要考虑其相位角，本文均按下不表），以频率为横坐标，幅值为纵坐标，此时便可将时域上的原方波信号转换成频域上的信号，如下
将该方波函数的原时域图像及其频域图像画在一个图中，如下，可以更加清晰的看到原函数是如何转换或分解为不同频率、不同振幅的正弦函数的。
类似的，如下周期性的锯齿波函数
其傅里叶级数可以表示为
该锯齿波函数及其傅里叶级数的图形如下，可以看到，随着傅里叶级数项数的增加，傅里叶级数的图形将会无限趋近于原函数。
2 傅里叶级数的复指数形式 实际上，可以看出，在傅里叶级数中，既有正弦函数，也包含余弦函数，画频域图时也不方便，而通过欧拉公式，可以将傅里叶级数转换为复数形式。 根据欧拉公式
有
将以上两式代入傅里叶级数，可得
上式第三项中，令n=-m，则有
令
其中
将傅里叶级数的系数a0、an、bn代入到上式，可知n=0时
n>0时
n<0时
因此，综合以上，可知周期为T的函数，其复指数形式的傅里叶级数展开式为
3 叠加！叠加！ 从我们之前介绍过的欧拉公式可以知道，欧拉公式中eit实际上表示复数平面上沿着单位圆的旋转。
显然，正弦函数sin为该复数的虚数部分，而余弦函数cos为该复数的实数部分，如下图所示。结合图形可知，傅里叶级数中的正弦、余弦函数实际上也可以理解为一种“旋转”。 右滑查看更多 因此通俗地理解，可以把傅立叶级数视作圆周运动的组合，比如上面的方波函数，其傅里叶级数中正弦函数的叠加可以表示成如下形式。
实际上，任意函数都可以表示成不同正弦或余弦函数的叠加（以上都是针对周期函数的傅里叶分析，针对非周期函数的傅里叶变换将在后面介绍）。比如如下类似“心电图”的函数，可由11个正弦波叠加而来。
再比如从地球上观察到的火星运行的轨迹如下
该曲线也可以通过两个圆周运动来叠加模拟
4 傅里叶级数的应用 前面对傅里叶级数的推导以及图形做了较多的展示，那将一个函数做傅里叶级数展开到底有什么用处呢？比如在我们之前提到收音机的检波功能，实际上就是在原函数信号的基础上乘以三角正交基函数，根据三角函数的正交性，提取出相应的正、余弦函数，并对这些函数展开相关分析或研究。 也可以借助傅里叶级数的方式对某些信号进行“滤波”，比如有一个函数（信号）通过傅里叶级数展开后函数形式为cosx+0.1cos10x+0.1cos100x，其图形如下
可以看出，由于函数中存在第2、3项，其频率较高，因此在图形中就存在“毛刺”，为了过滤或消除掉这些“毛刺”的影响，只考虑该函数的主要特征，可以首先对该函数积分得到函数sinx+0.01sin10x+0.001sin100x，该函数图形如下
从上图中可以看出，当原函数信号经过一次积分后，由于第2、3项高频信号的系数也即振幅被大大缩小，因此原信号中存在的“毛刺”几乎被过滤掉。如果进一步对上述函数积分，则可得-cosx-0.001cos10x-0.00001cos100x，其图形为
可以看到，由于积分的特性使得高频信号的振幅被进一步缩小，也就是说信号的“毛刺”被进一步抹平，最终就可以得到原始信号的最主体特征，这也是“低通滤波”的数学原理——通过积分的方式缩小高频信号的幅值，最终只留下低频信号。 不知道看到这里大家有没有感觉到，傅里叶分析中的滤波和检波实际上就是一个“过滤”和“挑选”的过程，我们每个人像是被挑选着来到这个世界，我们的一生都在被挑剔、被赋予使命。每一次考试，每一次插科打诨，每追一部剧，每逛一次街，每谈一次恋爱……，实际上都是我们在冥冥中决定了自己的幸福、欢喜与悲伤，犹如一次次傅里叶分析，我们被筛选到了截然不同的轨迹上。 世界就像一台皮影戏里的大幕布，傅里叶级数里那些叠加、旋转的圆，犹如戏台上幕布后无数永不停歇的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的齿轮。最外面的小齿轮上仿佛牵引着一根线，线的另一端就是我们，我们被牵引着往前走。我们的脚步会走出一条条曲线，会经历许许多多低谷与波峰，有时候我们发现眼前一片坦途，有时候又觉得杂乱无序。然而我们每个人都被牵引着走向同一个终点，而牵引我们往前走的东西，也许就是宿命罢。 -未完待续- |
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