《分式与分式方程》单元检测
一、选择题(每小题4分,共10小题,满分40分)
1.下列各式-3x,,,-,,,中,分式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】分式的定义.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【解答】解:-3x,,的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式.
-,,,分母中含有字母,因此是分式.
故选:D.若分式的x和y均扩大为原来各自的10倍,则分式的值( )
A.不变 B.缩小到原分式值的
C.缩小到原分式值的 D.缩小到原分式值的
【解答】解:式的x和y均扩大为原来各自的10倍,得
==,
故选:C.
3.化简的结果是( )
A. B. C. D.
【考点】分式的乘除法.
【专题】计算题.
【分析】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.
【解答】解:原式=
=.
故选A.
4.计算a3()2的结果是( )
A.a B.a5 C.a6 D.a8
【考点】分式的乘除法.
【专题】计算题.
【分析】原式先计算乘方运算,再计算乘法运算即可得到结果.
【解答】解:原式=a3=a,
故选A
5.若m个人完成某项工程需要a天,则(m+n)个人完成此项工程需要的天数( )
A.a+m B. C. D.
【解答】解:因为m个人完成某项工程需要a天,
所以工作总量为ma,
所以(m+n)个人完成此项工程需要的天数为.
故选B.
6.若分式方程=a无解,则a的值( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【解答】解:在方程两边同乘(x+1)得:x-a=a(x+1),
整理得:x(1-a)=2a,
当1-a=0时,即a=1,整式方程无解,
当x+1=0,即x=-1时,分式方程无解,
把x=-1代入x(1-a)=2a得:-(1-a)=2a,
解得:a=-1,
故选:C.
7.化简的结果是( )
A.x-1 B. C.x+1 D.
【考点】分式的加减法.
【专题】计算题;分式.
【分析】原式变形后,通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式===,
故选B
8.已知,则的值是( )
A.9 B.11 C.7 D.1
【考点】分式的乘除法.
【分析】根据已知式左边右边都平方,可得所求式的形式,可得答案.
【解答】解:∵,
(m+)2=m2+2+=9,
∴m2+=9-2=7,
故选:C.
9.如果,,那么等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】分式的化简求值.
【分析】所求分式涉及字母a、c,故要消除b,根据两个已知等式中b的倒数关系消除b,再把所得等式变形即可.
【解答】解:由已知得=1-a,b=1-,
两式相乘,得(1-a)(1-)=1,
展开,得1--a+=1
去分母,得ac+2=2a
两边同除以a,得c+=2.
故选B.
10.对于非零的两个实数a,b,规定ab=-,若5(3x-1)=2,则x的值为( )
A. B. C. D.-
【考点】解分式方程.
【专题】新定义.
【分析】根据规定5(3x-1)可化成-,再根据解分式方程的步骤即可得出答案.
【解答】解:根据题意得:
-=2,
解得:x=;
经检验x=是原方程的解;
故选B.
二、填空题
11.x的值为 -1 时,分式无意义.
【考点】分式有意义的条件.
【分析】根据分母不为零分式有意义,可得答案.
【解答】解:由分式无意义,得
x+1=0,
解得x=-1,
12.计算: = -1 .
【解答】解:原式=-
=
=-1.
故答案为:-1.
13.化简()的结果是 x+2 .
【解答】解:原式=
=
=x+2.
故答案为:x+2.
14.已知关于x的方程的解是负数,则m的取值范围为 m>-8且m≠-4 .
【解答】解:,
2x-m=4x+8,
-2x=8+m,
x=-,
∵关于x的方程的解是负数,
∴-<0,
解得:m>-8,
∵方程,
∴x+2≠0,
即-≠-2,
∴m≠-4,
故答案为:m>-8且m≠-4.
15. 当x= 1 时,分式=0.
【解答】解:由题意可得x-1=0且x+2≠0,
解得x=1.
故答案为x=1.
16. 关于x的方程=-1无解,则m= -1或- .
【考点】分式方程的解.
【专题】计算题.
【分析】先按照一般步骤解方程,用含m的代数式表示x,然后根据原方程无解,即最简公分母为0,求出m的值.
【解答】解:化为整式方程得:3-2x-2-mx=3-x
整理得x(1+m)=-2
当此整式方程无解时,1+m=0即m=-1;
当最简公分母x-3=0得到增根为x=3,当分式方程无解时,把增根代入,得m=-.
故m=-1或-.
17. 某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务,若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.设每人每小时的绿化面积.设每人每小时的绿化面积为x平方米,请列出满足题意的方程是 -=3 .
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米,等量关系为:6名工人比8名工人完成任务多余3小时,据此列方程即可.
【解答】解:设每人每小时的绿化面积为x平方米,
由题意得, -=3.
故答案为: -=3.
18.某工厂原计划生产7200顶帐篷,后来有一个地区突然发生地震,要求工厂生产的帐篷比原计划多20%,并且需提前4天完成任务.已知实际生产时比原计划多生产720顶帐篷,设实际每天生产x顶帐篷,根据题意可列方程为 -=720 .
【解答】解:设实际需要x天完成生产任务.
根据题意得: -=720,
故答案为: -=720.
三、解答题
19.先化简,再求值:÷(-x-2),其中x为-1≤x≤3的整数.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选出合适的x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=÷
=
=,
∵x为2时,原代数式无意义,
∴x=-1或0或1或3,
当x=-1时,原式=-.
20. 先化简,再求值:,其中x是不等式组的一个整数解.
【解答】解:原式=
=
=-(x+2)(x-1)
=-x2-x+2,
解不等式组,
由①得x≤2,
由②得x>-1,
所以不等式组的解集为-1<x≤2,其整数解为0,1,2,
由于x不能取1和2,
所以当x=0时,原式=-0-0+2=2.
21. 先化简:,并从0,-1,2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【专题】计算题;开放型.
【分析】首先把括号的分式通分化简,后面的分式的分子分解因式,然后约分化简,接着计算分式的乘法,最后代入数值计算即可求解.
【解答】解:
=×,
=×
=-,
当a=0时,原式=1.
22. 先化简,再求值:( -)÷(-),其中x=,y=1.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x=,y=1代入进行计算即可.
【解答】解:原式=[-][-]
=
=
=-,
当x=,y=1是,原式=-=2-3.
23. 材料阅读:
将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
解:由分母为x+3,可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b,
则由x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x2+(a+3)x+(3a+b).
∵对于任意x,上述等式均成立,∴,解得.
∴==-=x-1-
这样,分式就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式;
(2)将分式拆分成整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
【解答】解:(1)由分母为x-1,可设x2+3x+6=(x-1)(x+a)+b,
则x2+3x+6=(x-1)(x+a)+b=x2+(a-1)x+(b-a).
∵对于任意x,上述等式均成立,
∴,
解得,
∴==x+4+;
(2)由分母为-x2+1,可设-2x4-x2+5=(-x2+1)(2x2+a)+b,
则由-2x4-x2+5=(-x2+1)(2x2+a)+b=-2x4+2x2-ax2+a+b=-2x4+(2-a)x2+(a+b).
∵对于任意x,上述等式均成立,
∴,
解得,,
∴==2x2+3+.
24. 【阅读】
我们分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,
其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
【运用】
利用“作差法”解决下列问题:
(1)小丽和小颖分别两次购买同一种商品,小丽两次都买了m千克商品,小颖两次购买商品均花费n元,已知第一次购买该商品的价格为a元/千克,第二次购买该商品的价格为b元/千克(a,b是整数,且a≠b),试比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
(2)奶奶提一篮子玉米到集贸市场去兑换大米,每2kg玉米兑换1kg大米,商贩用秤称得连篮子带玉米恰好20kg,于是商贩连篮子带大米给奶奶共10kg,在这个过程中谁吃了亏?并说明理由.
【考点】列代数式(分式).
【分析】(1)根据题意分别表示出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格,利用作差法比较即可;
(2)设篮子的质量为xkg,根据题意可得奶奶有的玉米数量为(20-x)kg,小贩给小莲的大米数量为(10-)kg,再根据玉米大米兑换比例即可得解.
【解答】解:(1)∵=, =,
∴-==>0
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