考点01 集合（核心考点讲与练）1、集合的概念：集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集； ②按元素
特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；集合
的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：元素与集合的关
系，用或表示； （2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算 （1）交
，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；
运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等
。集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合
是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数
，数列，线性规划等结合. venn图法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集，集合，集合，则图
中的阴影部分表示的集合为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意
，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故选：D2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分
表示的集合中，所包含元素的个数为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可
求得结果.【详解】因为或，则，由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集，集合，，
则（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集，集合，，所以，所以.故选：A二
、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，则集合AB＝ _______ .【答案】{﹣1，
0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可．【详解】解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，∴AB＝{﹣1，0，2}，故答案为
：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2022·北京石景山·
一模）已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：①不存在非空集合对，使得为偶函数；②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；③存在无
穷多非空集合对，使得方程无解．其中正确结论的序号为_________．【答案】①③【分析】通过求解可以得到在集合A，B含有何种元素
的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当与都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后
再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程判断③是否正确【详解】①若，，则，，若，，则，，若，，则，
，若，，则，，综上不存在非空集合对，使得为偶函数②若，则或，当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数当，时，满足当时，所以可统
一为，此时为奇函数所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一③解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，，所以存在无穷多
非空集合对，使得方程无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对所属集合
的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对使得函数为偶函数②观察可以发现为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式归并到
当中，使得成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案2（2020·北京·模拟
预测）对给定的正整数，令，，，，，，2，3，，．对任意的，，，，，，，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合，，中的最
小值称为的特征，记作（A）．（Ⅰ）当时，直接写出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，
1，，，1，．（Ⅱ）当时，设且（A），求中元素个数的最大值；（Ⅲ）当时，设且（A），求证：中的元素个数小于．【答案】（Ⅰ）答案详见
解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明中元素个数至多有2
个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为2 个满足题意，进而得出中元素个数的最大值；（Ⅲ）设，，，定义的邻域，先证明对任意的，
中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有 个元素，但中共有 个元素，所以，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）（A），
（B），（C）；（Ⅱ）（a） 一方面：对任意的，，，，，，令（a），，，，，，则，（a），故（a），令集合（a），则， 且 和 的
元素个数相同，但 中共有 个元素，其中至多一半属于，故中至多有2 个元素．（b）另一方面：设，，， 是偶数，则 中的元素个数为
对任意的，，，，，，，，，易得与 奇偶性相同，故 为偶数，由，得，故，注意到，0，0，0，，0，，，1，0，0，， 且它们的距离为
2，故此时满足题意，综上，中元素个数的最大值为2．（Ⅲ）当 时，设 且（A），设，，，任意的，定义的邻域，（a） 对任意的， 中恰
有 2021 个元素，事实上①若，则，恰有一种可能；，②若，则 与，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上， 中恰有2021个元
素，（b） 对任意的，，事实上，若，不妨设，，，，，则，这与（A），矛盾，由 （a） 和 （b），中共有 个元素，但中共有 个元素
，所以，注意到是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合 中的元素个数小于．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与
表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．根据集
合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合，．若，则实数k的取值范围为（?）A．B．C．D．【答案
】D【分析】求出集合，再根据，知，列出不等式，解之即可得出答案.【详解】解：解不等式，得，即，或，由，知，所以或，解得或.故选：D
．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式
化简集合，然后由题意得，从而建立不等式组求得的范围.【详解】解不等式，得，所以.由，得，∴，解得﹒故选：B数轴法解决集合运算问题一
、单选题1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集，已知集合，，则 =（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】化简集合，
先求出，再求出其补集即可得解.【详解】或，，所以，所以 ，即.故选：D2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合，，则（?
）A．RB．C．D．【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】由得，则，由解
得，即，所以.故选：D3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出集合M，N，
然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：C.二、填空题4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合，则________.
【答案】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式 ，得 ，解得 ，即 ， ；故答案为： .5．（2020·上海·模拟预测）
已知集合，，则______．【答案】【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.【详解】因为，，所以
，故答案为：.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合，，则
______.【答案】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运
算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合，集合，则________．【答案】【详解】，，所以．【点睛】
本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{
x|x2﹣2x﹣3＜0}，则＝_____．【答案】或【分析】先化简集合,再求，最后求得解.【详解】解：A＝{x|f（x）＝ln（x
2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则＝或，
故答案为：或．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对
这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合，则（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据交集、补
集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】B【分析
】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B .3．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】B【
分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B .4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（?）A．B．C．D．
【答案】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.5．（2021·全国·高考真题（
理））设集合，则（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,故选：B.【点睛】本题考查集合的运
算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合，则（?）A．B．C．D
．【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知
集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题知，，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以故选
：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则等于（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数
的值域进而得出集合，根据二次根式的意义求出集合，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】..因此.故选：D3．（2022·全国·
高三专题练习）已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化简集合B，再去求.【详解】则故选：D4．（2022·全国·
高三专题练习）已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B，然后根据集合的交集运算
法则求得结果.【详解】当时，，则，所以.故选:B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出集合A、B，由韦恩图分析，求.【详解】由，得，则，所以.\由，得，则，则图中阴影部分
表示的集合为.故选:B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】先解不含参数的一
元二次不等式，进而求出集合，然后根据交集的概念即可求出结果.【详解】解不等式得，又，所以，所以，故选：D.7．（2022·全国·高
三专题练习）已知集合，，则下列结论一定正确的是（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求
得集合，进而得到结果.【详解】，，，，.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】
C【分析】利用指数函数的性质可化简集合，根据对数函数性质得集合，然后计算交集．【详解】由已知，，∴．故选：C．9．（2022·全国
·高三专题练习）若集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求两集合的交集即可【详
解】解不等式，得，又，所以，所以，所以．故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】
D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得或，所以集合或
，又由，解得，所以集合，所以.故选：D.11．（2022·全国·高三专题练习）设全集，，则为（?）A．B．C．D．【答案】A【分析
】根据全集求出的补集即可.【详解】，，.故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（?）.A．B．C．D．【答
案】C【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，，所以 ，故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已
知集合，则（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出集合A和集合A的补集，集合B，再求出【详解】由，得，解得，所以，所以或，由
得，所以，所以故选：A14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（?）A．1B．2
C．3D．4【答案】C【分析】由Venn图得到求解.【详解】如图所示，，，解得且，又，，，，所以M中元素的个数为3故选：C15．（
2022·全国·高三专题练习）已知全集，，，则（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】，．故选：C
．二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列
集合中是“凸”的有（?）．A．B．C．D．【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设，，，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表
示的平面区域如图中阴影所示：?A?B?C?D观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.故选：ACD【点睛】思
路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚
实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（?）A．B．C．D．【答案】A
B【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，，所以，故AB正确，CD错误，故选：AB.18．（2022
·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（?）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由对数运算可知，，由的定义
可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.【详解】对于A，，，，A正确；对于C，，，C错误；对于BD，，，，，BD正确.故选：ABD.19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（?）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．故选：ABD．三、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则___________【答案】【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为，，所以.故答案为：. |
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